高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（1）课时提升作业2 新人教A版必修4（通用）

正弦函数、余弦函数的性质(一)一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2020永川高一检测)函数f(x)=2sin2x的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A. f(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-f(x)，故f(x)是奇函数.【变式训练】函数f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选D.因为f(x)的定义域为xx+2k且x32+2k,kZ，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.2.函数y=3cos25x-6的最小正周期是()A.25B.52C.2D.5【解析】选D. y=3cos25x-6的最小正周期为225=5.3.(2020塘沽高一检测)定义在R上的函数f(x)周期为，且是奇函数，f4=1，则f34的值为()A.1B.-1C.0D.2【解析】选B. f(x)周期为，且是奇函数，所以f34=f-4=-f4=-1.【变式训练】若f(x)sinx是周期为的奇函数，则f(x)可以是()A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x【解析】选B.若f(x)=cosx，则令g(x)=f(x)sinx=cosxsinx，因为g(-x)=cos(-x)sin(-x)=-cosxsinx=-g(x)，故为奇函数，且g(x+)=cos(x+)sin(x+)=cosxsinx，所以周期为.当f(x)为A，C，D选项时均不符合要求.4.(2020新课标全国卷)函数f(x)=(1-cosx)sinx在-，的图象大致为()【解题指南】首先判断函数的奇偶性进行排除，然后再根据函数的图象特征取最佳值进行验证排除.【解析】选C.因为f(-x)=-(1-cosx)sinx，即f(-x)=-f(x)，而定义域x-，关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数，排除B.又当x=2时f2=1-cos2sin2=10，排除A.当x=34时f34=1-cos34sin34=2+121，排除D.5.(2020唐山高一检测)在函数y=sinx，y=sinx，y=sin2x+3，y=cos2x+23中，最小正周期为的函数的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C. y=sinx不是周期函数，y=sinx，y=sin2x+3，y=cos2x+23的周期均为.【拓展延伸】求三角函数周期的常用方法1.定义法：若f(x)满足f(x+T)=f(x)，T0，则T为其周期.2.公式法：对y=sin(x+)或y=cos(x+)，最小正周期为T=2.3.图象法：画出图象，观察周期，如y=sinx.6.已知函数f(x)=cos(x+)为奇函数，则的一个取值为()A.4B.3C.0D.2【解析】选D. f(x)=cos(x+)为奇函数，则=k+2，kZ，当k=0，得=2.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2020宁波高一检测)函数f(x)=2cos2x+1的图象关于对称(填“原点”或“y轴”).【解析】函数f(x)的定义域R关于原点对称，又因为f(-x)=2cos2(-x)+1=2cos2x+1=f(x)，所以f(x)为偶函数，故其图象关于y轴对称.答案：y轴8.(2020阳泉高一检测)函数f(x)=sinx+4(0)的周期为4，则=.【解析】4=2，所以=8.答案：89.关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下说法：对任意的，f(x)都是非奇非偶函数.存在，使f(x)是偶函数.存在，使f(x)是奇函数.对任意的，f(x)都不是偶函数.其中错误的是(填序号).【解析】当=2+k，kZ时，f(x)为偶函数；当=k，kZ时，f(x)为奇函数.由此可知是错误的.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2020聊城高一检测)判断函数f(x)=cos(2-x)-x3sin12x的奇偶性.【解析】因为f(x)=cos(2-x)-x3sin12x=cosx-x3sin12x，其定义域为R，f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin12(-x)=cosx-x3sin12x=f(x)，所以f(x)为偶函数.11.已知函数y=5cos2k+13x-6(其中kN)，对任意实数a，在区间a，a+3上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值.【解析】由5cos2k+13x-6=54，得cos2k+13x-6=14.因为函数y=cosx在每个周期内出现函数值为14有两次，而区间a，a+3的长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度.即222k+133，且422k+133.所以32k72.又kN，故k=2，3.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2020鞍山高一检测)函数f(x)=-sinx的奇偶性是()A.奇函数B.非奇非偶函数C.偶函数D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A.因为xR，f(-x)=-sin(-x)=sinx=-f(x)，所以此函数为奇函数.2.已知函数f(x)=sinx3，则f(1)+f(2)+f(2020)=()A.-32B.0C.32D.3【解析】选B.f(x)的周期T=6，而f(1)=sin3=32，f(2)=32，f(3)=0，f(4)=-32，f(5)=-32，f(6)=0，所以原式=335(f(1)+f(2)+f(6)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0+32+32+0+-32+-32=0.3.(2020通化高一检测)设函数f(x)(xR)满足f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，则函数y=f(x)的图象是()【解题指南】根据题意，确定函数y=f(x)的性质，再判断哪一个图象具有这些性质.【解析】选B.由f(-x)=f(x)得y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于y轴对称，可知B，D符合；由f(x+2)=f(x)得y=f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图象的最小正周期是4，不符合，选项B的图象的最小正周期是2，符合，故选B.4.(2020宁波高一检测)下列函数中，奇函数的个数为()y=x2sinx；y=sinx，x0，2；y=sinx，x-，；y=xcosx.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.因为y=sinx，x0，2的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，符合奇函数概念.【变式训练】(2020洋浦高一检测)函数y=cos2 0052-2020x是()A.奇函数B.非奇非偶函数C.偶函数D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A. y=cos2 0052-2 009x=cos12-2 009x=sin2020x，所以为奇函数.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2020江苏高考)函数y=3sin2x+4的最小正周期为.【解题指南】利用三角函数周期公式T=2|.【解析】函数y=3sin2x+4的最小正周期T=22=.答案：6.若函数f(x)=2cosx+3的最小正周期为T，且T(1，3)，则正整数的最大值是.【解题指南】首先利用公式求出周期，然后结合T的取值范围来求正整数的最大值.【解析】因为123，所以232，所以正整数的最大值是6.答案：6【变式训练】方程cos52+x=12x在区间(0，100)内解的个数是()A.98B.100C.102D.200【解析】选B.用图象法来解，cos52+x=12x等价于-sinx=12x，在同一坐标系中作出y=-sinx与y=12x的图象在一个周期内的图象，有两个交点，利用周期判断(0，100)内解的个数为100个.三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2020镇江高一检测)已知函数y=12sinx+12sinx，(1)画出函数的简图.(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期.【解析】(1)y=12sinx+12sinx=sinx,x2k,2k+(kZ),0,x2k-,2k(kZ),图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2.8.函数f(x)满足f(x+2)=-1f(x).求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期.【解析】因为f(x+4)=f(x+2)+2)=-1f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期函数，且4