2020年普通高考数学一轮复习 第12讲 空间中的夹角和距离精品学案

2020年，高考数学系将进行一轮高质量的复习。第12讲空间中的角度和距离一、课程要求：1.掌握两条直线形成的角度和距离的概念以及等角定理；(对于不同平面中直线的距离，只需要计算给出公共垂直线时的距离)。2.掌握点、直线和平面之间的距离，以及直线和平面形成的角度；3.为了掌握平行平面之间的距离，人们会发现二面角及其平面角；二。命题趋势高考三维几何试题一般由4道题组成(选择题，填3道题，答1道题)，总分为27分左右，考试知识点在20分以内。随着新课程改革的进一步实施，三维几何试题正朝着“多思少算”的方向发展。从历年试题的变化来看，以多面体和旋转体为载体的线-面位置关系的论证、角度和距离的探索往往是新的热点话题。2020年高考试题预测：(1)分别寻找夹角和距离的问题多为选择题和填空题，得分约为5分；在一步一步的问题中，必须有问题来找出夹角和距离，分数大约为6分。(2)选择并填写空白问题，检查问题集中的计算问题，而答案问题集中检查问题集中的逻辑推理问题。当然，两者都应该以正确的空间想象为前提。三。要点1.距离空间距离是立体几何的重要内容，主要包括：点到点距离、点到点距离、点到面距离、线到线距离、线到面距离和面到面距离。重点是点与点之间的距离，点与平面之间的距离，以及两个不同平面上直线之间的距离。因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直度和紧密度，理解距离是指相应线段的长度，理解几个距离之间的转换关系是非常重要的。寻找距离的焦点是点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转换成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转换成另一个点到这个平面的距离。(1)不同平面上两条直线之间的距离具有不同平面的两条直线之间的线段长度称为具有不同平面的两条直线之间的距离。解决方法：如果已知两条不同平面的直线的公共垂线，则将其转换为公共垂线的长度。(2)点到平面的距离平面上的平面外点P的投影是P，那么线段PP的长度是从点到平面的距离；寻找“一个发现两个证据，三个寻找”的方法必须在所有三个步骤中明确写出。等体积法。(3)直线和平面之间的距离：直线平行于平面。从直线上的任何一点到平面的距离称为直线和平面之间的距离。(4)平行平面之间的距离：两个平行平面的公共垂直截面的长度称为两个平行平面之间的距离。寻找距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转换关系和“平行运动”的思想方法，将距离转换成点到点距离、点到点距离或点到面距离。一般步骤是：找出或制作代表相关距离的线段；(二)证明符合定义；(3)解三角形。如果表示距离的线段不容易找到或制作，可以用体积等积法计算。如果两条直线a和b在不同平面上形成的角度是q，它们的公共垂线AA的长度是d，a上有一条线段ae=m，b上有一条线段af=n，则ef=(符号由实际情况选择)2.角各种角度寻找“一个发现两个证据，三个寻找”的方法必须在所有三个步骤中明确写出。除特殊位置外，主要指平面与平面的斜线所形成的角度。根据定义，采用“投影变换法”。(3)二面角是通过其平面角来测量的二面角的问题通常是通过画出其平面角的图形来解决的，所以使二面角的平面角成为解决问题的关键。常用的方法有：(一)定义法；(ii)使用三重垂直定理或逆定理；(三)两条射线形成的角度是从空间中的一个点作为具有垂直边缘的垂直平面获得的。它通常被称为垂直平面法。此外，当很难将平面角视为二面角时，可以用投影面积法求解，cos q=，其中S是倾斜平面的面积，S是投影面积，q是由倾斜平面和投影平面形成的二面角。3.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边平行且方向相同，那么这两个角是相等的。推论：如果两条相交线和另外两条相交线分别平行，那么两组线形成的锐角(或直角)是相等的。四.典型案例分析问题1:线间距离例1。假设一个立方体的棱柱长度是1，求直线DA和AC之间的距离。解决方案1:如果交流如图1所示连接，交流面交流，连接东OEDO的DA，DC，DO，o因为ac 面临BBDD，所以ac oe。是，也是。因此，运行经验是直线距离DA和交流电之间的距离。在RtOOD中，可以获得备注：这个问题是关于不同平面的直线之间的距离：可以作出不同平面的直线的公共垂线。图2解决方案2:如图2所示，将交流、DC、BC和ABA连接起来，得到两个分别包含DA和AC的平面ACD和平面ABC。而且因为交流交流，所以面交流交流，所以面交流面交流。因此，DA和AC之间的距离就是飞机ACD和飞机ABC之间的距离。偶BD分别在两点与两个平面相交，这很容易证明是两个平行平面之间的距离。因此，计算非平面直线BD和is之间的距离并不困难。备注：如果认为不同平面的直线的公共垂线不易制作，可以通过两个不同平面的直线制作两个平面，那么不同平面的直线的距离就是两个平面的距离。问题2:线之间的角度例2。如图1所示，在三棱锥s-ABC中，计算由直线SC和AB在不同平面上形成的角度的余弦值。图1解决方案1:使用公式当直线平面AB和is形成的角度l是内部直线，并且l和AB的投影形成的角度为时，满足非共面直线l和AB形成的角度。根据这个解决方案。从这个主题，我们知道了平面ABC，从三条垂直线的定理，我们知道了平面SAC。因为，通过毕达哥拉斯定理，我们可以得到。进去。如果SC和AB形成的角度是，那么，解决方案2:翻译交点c为CD/BA，平行线交点a为BC，交点CD与d相交，连线SD为非共面直线SC与AB形成的角度，如图2所示。四边形ABCD是一个平行四边形。根据毕达哥拉斯定理，我们可以得到：图2在中，余弦定理给出：备注：如果不是垂直的，可以通过以下步骤解决：(1)选择适当的点，用不同的平面做两条直线的平行线，并构造平面角度；(2)证明这个角(或它的余角)是不同平面上直线形成的角；(3)求解三角形(常用余弦定理)并求出构造角的度数。问题3:点线距离例3。正方形的边长是2，E和F分别是AB和CD的中点。正方形沿着EF折叠成一个直的二面角(如图所示)。m是矩形AEFD中的一个点。如果MBE=MBC，由MB和平面BCF形成的角度的正切值是，那么从点M到直线EF的距离是。分析：如果m被用作MOEF，如果EF被用作o，则MO平面BCFE。如图所示，作为ONBC，设置OM=x，数字BO=2x，坦博另外，S分子束外延=边界元外延=边界元外延SMBC=BCMBsinMBC=BCMNME=MN和我。评论：Thi在AOC中，AO=1，CO=1。而交流电=2，8756；二氧化锰=交流电=2，AOC=90，即AOOC.AB飞机。(二)解决方案：取交流的中点M，连接运行模式、运行模式和运行模式，从东到西知道运行模式AB和运行模式DC为BC的中点。由直线OE和EM形成的锐角是非平面直线AB和CD形成的角度。在OME，是直角三角形的斜边上的中心线。非共面直线AB和CD形成的角度是(三)解：e点到ACD平面的距离为h。,SACD=AOSCDE。在ACD中，CA=CD=2，AD=，SACD=且AO=1，SCDE=h=从点e到平面ACD的距离是。点评：本文主要考察直线与平面的位置关系、直线在不同平面上形成的角度以及点到平面的距离等基础知识。还考察了空间想象能力、逻辑思维能力和操作能力。问题5:线-面距离例5。在斜三棱镜ABC-A1B1C 1中，底面是边长为4厘米的正三角形，侧边AA1与底面的两边AB和AC成600角，AA1=7。核查：aa1bc；(2)找出斜三棱镜的全部面积，ABCa1b1 C1；(3)求斜三棱柱的体积ABCa1b1c 1；(4)找出从AA1到BB1C1C侧的距离。分析：让A1在平面上的投影为0。a1ab=a1ac， O在bac的平行线AM上。ABC是一个正三角形，是公元前。AM也是A1A在plane abc飞机上的投影(2)b1ba1a， B1BBC，即边BB1C1C为矩形。同样，的全部=(3)cosa1ab=cosa1aocosoab,cosa1ao=sina1ao=,a1o=a1asina1ao=(4)将从A1A线到BB11C侧的距离转换为从点a或A1到BB11C平面的距离为了找到A1在BB11C侧的投影，必须首先找到BB11C侧的垂直表面。将平面AA1M交点BB11C 1设置为MM1* bcam,bca1a BC飞机AA1M飞机AA1M1M侧BCC1B1平行四边形AA1M1M当A1用作A1HM1M时，h是垂直英尺。然后A1H方面BB1C线段A1H的长度是从A1A到BB1C侧的距离备注：线-面距离经常被转换成点-面距离进行处理，最后可能被转换成空间几何的体积计算。体积法不需要获得垂直线。问题6:线与平面之间的角度例6。如图所示，在四角锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD BC，BAD=90，PA 底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，m和n分别为PC和PB的中点。核查：pbdm；(2)求圆二面体与平面ADMN形成的角度的正弦值。(I)因为它是中点，所以。因为飞机，所以，因此飞机。因为飞机的缘故所以。(二)取中点，连接，然后，所以与平面的角度等于与平面的角度。因为是平面，所以它与平面成一个角度。进去。备注：本主题主要考察几何的概念、直线与平面之间的夹角、两个平面的垂直等。能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和计算能力。问题7:面对面的距离例7。在长方体ABCD-A1B1C 1 D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图所示：(1)验证：平面A1BC1平面ACD 1；(2)在(1)中找出两个平行平面之间的距离；(3)找出点B1到平面A1BC1的距离。(1)证明：因为BC1AD1，BC1平面ACD1，类似地，如果A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1。(2)解：如果两个平行平面A1BC1和ACD1之间的距离是D，那么D等于D1和平面A1BC1之间的距离。如果A1C1=5，A1B=2，BC1=，cosA1BC1=，sinA1BC1=，S=。因为，然后Sd=BB1，代入得到d=，也就是说，两个平行平面之间的距离是。(3)解决方案：由于线段B1D1被平面A1BC1平分，所以从B1和D1到平面A1BC1的距离相等，并且从点B1到平面A1BC1的距离等于(2)。注释：立体几何图形必须由表面来衬托，点、线和表面的位置关系可以通过暴露的方式来“建立”。在具体的问题中，证明和计算通常附加在一个特殊的辅助平面上，即基面。获得这个辅助平面是解决问题的关键。通过切割、延伸或构造这个平面，这个问题就可以解决。问题8:面部角度例8。如图所示，在长方体中，分别是中点，分别是中点。核实：面子；(二)求二面角的大小。(三)计算三棱锥的体积。分析：(一)证明：取中点并连接它分别是的中点，脸，脸飞机飞机(ii)设定为的中点是 平面的中点对于，相交于，连接，是由三条垂直线的定理得到的。从而成为二面角的平面角。因此。在中，二面角的切线是。()、从表面制造、移交或获得，脸，在中间，。注释：寻找角度和距离的基本步骤是制作、证明和计算。此外，应特别注意整合到操作中的推理过程。推理是操作的基础，而操作只是推理过程的延续。如果找到二面角，只能通过推理过程找到二面角后的简单运算找到。因此，寻找角度和距离的关键是证明直线和平面之间的位置关系。V.思维总结空间的角度和距离是空间图形中最基本的数量关系。空间角度主要研究投影和与投影有关的定理，两条直线形成的角度，直线和平面形成的角度，二面角和二面角的平面角度等。解决这些问题的基本思想是将空间问题转化为平面问题。1.空间角度是定量分析由点、直线和平面组成的空间图形中各元素之间位置关系的一个重要概念。根据它们的定义，可以获得值的范围，例如由直线和平面形成的角度(0，)，角度(0，)，以及二面角的大小，其可以通过它们的平面角度 (0，)来测量。对于空间角度的计算，总是用某种方法把它转换成平面上的一个角度，并把它放在一个平面图形中，用三角形的内角来求解。这种转换是利用直线和平面的平行和垂直来实现的。因此，寻找这些角度的过程也是直线和平面的平行和垂直的一个重要应用。通过空间角度的计算和应用，进一步培养操作能力、逻辑推理能力和空间想象能力。(1)在不同平面上寻