2020届高三数学一轮复习 第一讲 空间几何体

第一讲空间几何体一、选择题1(2020广东)如图，ABC为正三角形，AA BBCC，CC平面ABC且3AABBCCAB，则多面体ABCA BC的正视图(也称主视图)是 ()解析：根据三视图的定义，几何体的主视图是几何体在它的正前方的竖直平面上的正投影，故选D.答案：D2(2020陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ()A. B. C1 D2解析：由几何体的三视图知几何体是底面为以1和为直角边的直角三角形，高为的直三棱柱，V11，故选C.答案：C3四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为 ()A.a3 B.a3C.a3 D.a3解析：方法一：设三棱锥另一棱长BCx，如右图，取BC的中点E，连结AE、DE，易证BC垂直于平面ADE，故VABCDSADEBESADEECSADEBCax，当且仅当x2(3a2x2)xa时取得等号方法二：如上图，底ABD是固定的，当C动起来时，显然当平面CAD平面ABD时高最大，体积最大，Vmaxa.答案：C4如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为 ()A. B. C. D.解析：如右图，分别过点A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结DG、CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC1，VVEADGVFBHCVAGDBHC1.故选A.答案：A5(2020全国)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若ABCD2，则四面体ABCD的体积的最大值为 ()A. B. C2 D.解析：解法一：设ABa，CDb，异面直线AB与CD所成角为，距离为h，将BCD补成平行四边形BCDE，则BEb，ABE，VABCDVABDEVDABEabsin habhsin ，由题意知ab2，分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，则h2，VABCD222sin sin ，当90时取等号解法二：分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，将四面体ABCD放入长方体中，如图，设长方体的底面边长为a、b，则VABCDV长方体ab2ab，又由a2b242ab得ab2，则VABCD，故选B.解法三：过CD作平面PCD，使AB面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有VABCD22hh，当球直径通过AB与CD的中点时h最大，hmax22，故Vmax.答案：B二、填空题6(2020辽宁)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_解析：由几何体的三视图知，几何体为正方体的一个面和一个侧棱构成的四棱锥，其最长棱为正方体的对角线，因正方体棱长为2，因此最长棱为2.答案：27半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_解析：由题意可知，P在圆面上的射影是圆心O.易得PA2，AO2，AF2，SPAFAF.正六棱锥的侧面积为6.答案：68(2020江西)正三棱柱ABCA1B1C1内接于半径为2的球，若A、B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为_解析：设O为球心，O1为正ABC的中心，连接OO1，则OO1平面ABC，由已知条件AOB，则ABAO2，AO1AB，OO1，则V正三棱柱SABC2OO1(2)28.答案：89(2020江西)如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为_解析：将三棱锥OABC补形成如图所示的长方体，连CF、OE，OE与AB交于点D，则平面OCD将三棱锥体积平分，A到平面OCD的距离d，有2dS3OAOBOC，则S3；同理S2，S1，而S，S，S，SSS，因此S1S2S3.答案：S3S2S1三、解答题10一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)(1)画出它的直观图(不要求写出画法)；(2)求几何体的表面积和体积解：(1)由三视图可知，该几何体由一个正方体和一个四棱柱组成，如图所示(2)表面积为2117113115(m2)正方体的体积为131 (m3)，四棱柱的体积为11，所以，几何体的体积为 m3.11如图所示，长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比解：已知长方体可以看成直四棱柱ADDABCCB，设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为VSh.而棱锥CADD的底面面积为S，高是h，因此，棱锥CADD的体积VCADDShSh.剩余部分的体积是ShShSh.所以棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为15.12三棱锥一条侧棱长为16 cm，和这条棱相对的棱长是18 cm，其余四条棱长都是17 cm，求棱锥的体积解：如图，设AD16 cm，BC18 cm，取AD的中点E，连结CE、BE，据题意，DCDBACAB17 cm，AD16 cm，BC18 cm，ACCD，E为AD中点，CEAD，又DEAD8cm，CE15 (cm)，同理BE15 cm，BECE.取BC的中点F，连结EF，则EFBC，EF12 (cm)SBCEBCEF1812108 (cm2)ACCD17