2020年高考数学预测：数列考点预测VIP

20092020年高考预测：数列考点预测一、考点介绍数列是高中数学的重点内容之一 ，也是高考考查的热点。高考中着重考查运算能力、逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”的特点，而解答题多以中、高档题目出现。透析近几年高考试题，估计20092020年高考关于数列的考查热点为：等差，等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用；利用数列的前n项和与通项的关系解题；数列的求和问题；递推数列问题；数列应用问题；数列与函数、三角、不等式的综合问题；数列与平面解析几何的综合问题，等等。主要考点有：1数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数2等差数列、等比数列（1） 理解等差数列、等比数列的概念（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式 （3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 （4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系二、考点题型预测考点一：等差数列和等比数列的基本问题例1设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）A B C D分析：本题考查等差中项、通项公式的简单应用。解析：B ， 将代入，得，从而例2设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）A. 2B. 4C.D. 分析：本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的简单应用，是一道容易题，只要熟悉等比数列的两个基本公式，解答本题困难不大，但也要注意运算的准确性。解析：C 。考点二：简单的递推数列例3在数列中， ，则 A B C D分析：本题考查简单的递推数列通项公式的求法，采用的是“归纳递推法”，本题也可以将递推式变形为后，用“迭加”的方法解决。在递推数列中这个题属于基本类型，是高考命题的一个基本着眼点，考生要熟练掌握这类递推数列通项公式的解决方法。解析： ，。点评：不明确方法就不会解，变形错误就得出错误的结果，在和之间混淆也会出错，如本题在用“迭加”方法解决的时候，“迭加”的是这个等式，不是个等式，在解决递推数列问题时，开始的部分和结束的部分要辨别清楚，不然就就会出错。例4在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层， 就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示）.分析：本题主要考查递推数列通项公式的求法，采用的是“归纳递推法”，先从第一堆、第二堆、第三堆的乒乓球，归纳总结出第n堆乒乓球的个数的通项公式，要求能认真审题，注意乒乓球是堆成“正三棱锥”形的，不是平面的，不然就会出错。解析：10； 的规律由，所以 所以 考点三：数列与函数、三角、不等式综合问题例5已知函数f(x)= (x2) (1)求f(x)的反函数f-1(x);(2)设a1=1, =f-1(an)(nN*),求an;(3)设Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1Sn是否存在最小正整数m,使得对任意nN*,有bn成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 分析：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题 错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列为桥梁求an,不易突破 技巧与方法 (2)问由式子得=4,构造等差数列,从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想 解 (1)设y=,x0)(2)， 是公差为4的等差数列，a1=1, =+4(n1)=4n3, an0, an= (3)bn=Sn+1Sn=an+12=,由bn,设g(n)= ,g(n)= 在nN*上是减函数，g(n)的最大值是g(1)=5,m5,存在最小正整数m=6,使对任意nN*有bn成立 例6已知，数列满足， ， （）求证：数列是等比数列； （）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围分析：本题是一道与函数、数列、不等式有关的综合性题目，着重考查学生的分析、审题能力本题立意比较新，在证明一个数列是否是等比数列时，只能利用定义，并且还要注意首项是否为0；同时还考查了分类讨论思想的方法。解：（I）， 即又，可知对任何，所以， 是以为首项，公比为的等比数列（II）由（I）可知= （） 当n=7时，；当n7时，当n=7或n=8时，取最大值，最大值为（III）由，得 （*）依题意（*）式对任意恒成立，当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意当t0时，由，可知（）而当m是偶数时，因此t0时，由（）， （）设 （） =，的最大值为所以实数的取值范围是考点四：数列与平面解析几何综合问题例7如图，在直角坐标系中，有一组对角线长为的正方形，其对角线依次放置在轴上（相邻顶点重合）. 设是首项为，公差为的等差数列，点的坐标为.（1）当时，证明：顶点不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点均落在抛物线上；（3）为使所有顶点均落在抛物线上，求与之间所应满足的关系式.点拔：数列与解析几何相结合，常常通过点的坐标来联系（1）中要证三点不在同一直线上，只要说明它们的斜率不等就可以了，（2）说明点在曲线上，就是说明点的坐标满足方程（3）说明所有的点在曲线上，只要说明第n个点的坐标满足曲线方程，就可以寻找到关系式解析：（1）由题意可知， . ， 顶点不在同一条直线上. （2）由题意可知，顶点的横坐标， 顶点的纵坐标. 对任意正整数，点的坐标满足方程， 所有顶点均落在抛物线上. （3）解法一 由题意可知，顶点的横、纵坐标分别是 消去，可得 . 为使得所有顶点均落在抛物线上，则有 解之，得 . 所应满足的关系式是：. 解法二 点的坐标为 点在抛物线上， . 又点的坐标为 且点也在抛物线上， ，把点代入抛物线方程，解得 . 因此， 抛物线方程为. 又 所有顶点落在抛物线上. 所应满足的关系式是：. 点评：对于数列与解析几何相结合的问题，这里是正方形的对角线为数列的项，通过它得到的坐标作为数列中的项，将数列与解析几何结合起来这类题的综合性和探索性较强，知识的交汇清新自然且难度较大，能有效地考查深层次的数学品质和数学综合素质，因而极易在高考中出现。考点五：数列应用问题例8某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少分析测算得入世后，如果不进行改革，第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元；如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入与时间n（以月为单位）的关系为 =an+b，且入世第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入分析：本题是一道与函数、数列、不等式有关的应用题目，题目要注意第一个月收入与以后逐月收入的关系：它们构成首项为3，公差为2的等差数列，然后再求该数列的前n项和。解：入世改革后经过n个月的纯收入为万元，不改革时的纯收入为 又由题意建立不等式 即 答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入三、考点预测题（一）选择题1、在等差数列中，已知则等于 （ ）ABCD解析在等差数列中，由得答案B2、设等差数列的前n项和为，则（ ）A18B17C16D15解析等差数列中，公差，答案A.3、已知是等差数列，则该数列前10项和等于（ ）A64 B100 C110 D120解析设公差为，则由已知得， 答案B4、已知是等差数列，其前10项和，则其公差（）解析由得a1=4, 则a10=a1+9d=4+9d=10，所以答案D5、等差数列的公差且，则数列的前项和取得最大值时的项数是（ ）A5B6C5或6D6或7解析由，知.答案C6、已知是等比数列，则=（ ）（A）16（） （B）16（） （C）（） （D）（）解析由，解得， 数列仍是等比数列：其首项是公比为， 所以答案C7、已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是（ ） A 解析设公比为，由或，所以取值范围为答案D8、设数列an的前n项和为Sn, 已知，且( nN*)， 则过点P(n,) 和Q(n+2,)( nN*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ） A（2，） B(-1, -1) C(, -1)D（） 解析由条件知=2 是等差数列，= 5+ (n 1)2 = 2n + 3Sn = 2n2 + 3n，当n2时，an = Sn = Sn 1 = 4n+1 (a1也适合)kPQ = 4，设直线PQ的方向向量为= (a , b)，则有= 4，只有D符合.答案D（二）填空题9、数列an中，若a1=1，an+1=2an+3 （n1），则该数列的通项an= .解析由，即=2，所以数列3是以（+3）为首项，以2为公比的等比数列，故3=（+3）答案=310、已知数列的前n项的和满足,则= .解析由条件得：， ，则，时，答案 11、已知数列中，则等于 解析答案990112、已知整数对排列如下：，则第60个整数对是_.解析观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n为的n1个，于是，借助估算，取n=10，则第55个整数对为，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为答案13、在等比数列中， ， 若对正整数都有， 那么公比的取值范围是 解析由得。答案14、已知成等差数列，成等比数列，则的值为_.解析。答案9015、 .解析由，整体求和所求值为5答案516、对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 .解析，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前n项和答案 .（三）解答题17、设数列的前项和为，且满足求数列的通项公式；若数列满足且求数列的通项公式；设，求数列的前项和。解析：（1）时， 即两式相减：，即故有。数列为首项公比的等比数列。 （2）则又（3） 而 -得：18、已知数列和满足,.() 当时,求证: 对于任意的实数,一定不是等差数列；() 当时,试判断是否为等比数列；() 设为数列的前项和,在()的条件下,是否存在实数,使得对任意的正整数,都有?若存在,请求出的取值范围；若不存在,请说明理由.解析（）当时, 假设是等差数列,由得,即,由，矛盾.故对于任意的实数,一定不是等差数列.（）当时,.而,所以 =.又 . 故当时, 不是等比数列.当时, 是以为首项,为公比的等比数列.（）由()知,当时,不合要求.所以,于是,要使成立,则.令,当n正奇数时,；当n正偶数时,.故的最大值为,最小值为.欲对任意的正整数n都成立,则,即,所以.综上所述,存在唯一的实数=,使得对任意的正整数,都有.19、已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3.（1）令求证数列是等比数列; （2）求数列的通项； 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由解析（I）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列.（II）由（I）知， 将以上各式相加得： （III）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列.解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，又当且仅当时，数列是等差数列20、已知函数且任意的、都有 （1）若数列 （2）求的值.解析：（1） ，而 （2）由题设，有又得上为奇函数. 由得 于是故 21、某市20092020年3月份曾发生流感，据统计，3月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到3月30日止，该市在这30日内感染该病毒的