2020年高考数学一轮复习 第9章（B）《直线、平面、简单几何体》自测题

第九章(B)直线、平面、简单几何体名师检测题时间：120分钟分值：150分第卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若ab，ac，lb c(，R)，ma，则m与l一定()A相交B共线C垂直 D以上都有可能解析：ab，ac，ab0，ac0，又ala(b c)(ab)(ac)000，al，而ma，ml.答案：C2已知P1(1,1,0)，P2(0,1,1)，P3(1,0,1)，O是坐标原点，则|等于()A2 B3C. D2解析：(1,1,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(2,2,2)，|2.答案：A3.已知ABCD为四面体，O为BCD内一点(如右图)，则()是O为BCD重心的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：若O是BCD的重心，则()()()()，若()，则0，即0，设BC的中点为P，则20，2，即O为BCD的重心答案：C4空间四点A、B、C、D满足|3，|7，|11，|9，则的取值()A只有一个B有两个C有四个D有无穷多个解析：注意到321127292130，由于0，则|2|2()22222()2222(2)2222()()81.即222220，所以只有一个值0，故选A.答案：A点评：本题主要考查了空间向量的数量积，解题需要有较强的观察能力与平时知识的积累，需从几个数据的特征进行考查，在运算中发现它们之间的联系5若a、b是两条异面直线，Aa，Bb，n是直线a、b公垂线的方向向量，则a、b间的距离为()A.n B|n|C. D.解析：如右图，设EF为公垂线段，则n，n，n，由nnnn，得nn|n|cosn，而cosn，1或1，|.答案：D6在空间直角坐标系O xyz中，i、j、k分别是x轴、y轴、z轴方向向量，设a为非零向量，且a，i45，a，j60，则a，k()A30 B45C60 D90解析：设a与x轴、y轴、z轴所成角分别为、，由长方体对角线性质，知cos2cos2cos21，又45，60，cos，从而60，a，k60，选C.答案：C7已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个向量的数量积()A2 B2C2 D2解析：A中，22aacos(18060)a2；C中，22acos180a2；D中，22acos(18060).答案：B8已知向量a(2，3,5)与向量b平行，则()A. B.C D解析：ab，.故选C.答案：C9设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，若ab，且记|ab|m，则ab与x轴正方向的夹角的余弦值为()A. B.C. D解析：取x轴正方向的任一向量d(x,0,0)，设夹角为，则(ab)d(a1b1，a2b2，a3b3)(x,0,0)(a1b1)x.cos.答案：A10ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6，2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD等于()A5 B.C4 D2解析：设，D(x，y，z)则(x1，y1，z2)(0,4，3)x1，y41，z23，(4,45，3)4(45)3(3)0，| 5.答案：A11平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，xn)表示设a(a1，a2，a3，a4，an)，b(b1，b2，b3，b4，bn)，规定向量a与b夹角的余弦为cos.已知n维向量a，b，当a(1,1,1,1，1)，b(1，1,1,1，1)时，cos()A. B.C. D.解析：cos.答案：D点评：本题以平面向量为背景研究n维向量的有关问题，体现了与高等数学知识的结合，突出了高考的选拔性的功能12在下列各结论中，不正确的是()A两非零向量a(x1，y1，z1)和b(x2，y2，z2)垂直的充要条件为x1x2y1y2z1z20B若向量a(x1，y1，z1)和b(x2，y2，z2)，则abC已知a，b是两非零向量，则a，barccosD. ab0是a0或b0的充要条件解析：ab0时，ab.故ab0是a0或b0的必要不充分条件答案：D第卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为_解析：如右图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的边长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，(0，a,0)，(a，a，a)，(0,0，a)，设平面ABD1的法向量为n(x，y，z)，则n(x，y，z)(0，a,0)ay0，n(x，y，z)(a，a，a)axayaz0，a0，y0，xz，令xz1，则n(1,0,1)，同理平面B1BD1的法向量m(1，1,0)，cosn，m，而二面角ABD1B1为钝角，故为120.答案：12014在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，CC1c(ab)，则AC与BD1间的距离为_解析：如右图所示，设置坐标系，使B点作为坐标原点，则B(0,0,0)，C(b,0,0)，A(0，a,0)，D1(b，a，c)(b，a，c)，(b，a,0)，又设n(1，u)，同时与及垂直，则由nbacu0，及nba00解得n于是所求距离d(b,0,0)nb，又|n| ，d.答案：15已知a，b是夹角为60的两个单位向量，ca，cb，且|c|，若x2abc，y3bac，则cosx，y_.解析：|a|b|1，ab.xy2a23b2c27ab233.|x| .|y| .cosx，y.答案：16.如右图，有一棱长为1的正方体，以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz，点B在z轴的正半轴上，则顶点C的竖坐标等于_解析：本题中的空间直角坐标系和通常所见的不一样，应结合点的坐标的定义进行求解如图，连结ED、EC、CD，利用三垂线定理以及线面垂直的判定定理可证明AB平面ECD，则点A到平面ECD的距离即为点C的竖坐标设点A到平面ECD的距离为d，则VAECDVCAED，SECDdSAEDAC，d.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如右图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论；(3)求DB与平面DEF所成角的大小解析：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设ADa，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，0)、F、P(0,0，a)(1)证明：(0，a,0)0，EFDC.(2)设G(x,0，z)，则G平面PAD.，(a,0,0)a0，x；(0，a，a)a0，z0.G点坐标为，即G点为AD的中点(3)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)由得即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)cos，n，DB与平面DEF所成角大小为arccos.18.(本小题满分12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB4，BC1，BE3，CF4，若如图所示建立空间直角坐标系：(1)求和点G的坐标；(2)求异面直线EF与AD所成的角；(3)求点C到截面AEFG的距离解析：(1)由图可知：A(1,0,0)，B(1,4,0)，E(1,4,3)，F(0,4,4)，(1,0,1)，又，设G(0,0，z)，则(1,0，z)(1,0,1)，z1，即G(0,0,1)(2)解法一：ADBC，作EHBC且交CF于H点，则FEH为所求角，FH431，EHBC1，FEH45，即所求角为45.解法二：(1,0,0)，(1,0,1)，cos，AD和EF所成的角为45.(3)设n0面AEFG，n0(x0，y0，z0)，n0，n0，而(1,0,1)，(0,4,3)，n0(z0，z0，z0)，取z04，则n0(4，3,4)，(0,0,4)，d，d.点C到截面AEFG的距离为.19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB中点，PC与平面ABCD所成角为30.(1)求二面角PCED的大小；(2)当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2.解析：(1)取AD的中点O，连结PO.PAD是正三角形，POAD，又面PAD面ABCD，PO面ABCD，以O为原点，过O作AB平行线为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，连结OC，则PCO为PC与面ABCD所成的角，PCO30，设ADa，则POa，OCa，CDa，P(0,0，a)，C(a，a,0)，E，设平面PCE的一个法向量为n(1，y，z)，则，n，又平面DEC的一个法向量为(0,0，a)，cos，n，二面角PCED为45.(2)D(0，0)，则(a,0,0)，D到面PCE的距离da.a2，a，当AD时，点D到平面PCE的距离为2.20(本小题满分12分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2和1.(1)求证：是定值；(2)已知P是SC的中点，且SO3，问在棱SA上是否存在一点Q，使异面直线OP与BQ所成的角为90？若存在，请给出证明，并求出AQ的长；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：在SDC内，作SECD交CD于E，连结OE.SO平面ABCD，SOCD.CD平面SOE，CDOE，OEAD，DE1，从而CE3.|cosSCD|12，是定值(2)以O为坐标原点，以OS所在直线为z轴，以过O且平行于AD的直线为x轴，以过O且平行于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系于是，A(2，1,0)，B(2,3,0)，C(2,3,0)，S(0,0,3)，P.设点Q(x，y，z)，则存在使(这是关键！将点的坐标用一个变量表示)，即(x2，y1，z)(2,1,3)，即，即.令(2，4,3)860，得.由01知，点Q在棱SA上，且Q，|.存在一点Q使OP与BQ所成角为90，且AQ的长为.21(本小题满分12分)在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M为AB的中点试问在线段SB上是否存在一点N，使得二面角NCMB的余弦值为？解析：取AC的中点O，连结OS，OB，SASC，ABBC，ACSO且ACBO，平面SAC平面ABC，SO平面ABC，SOBO.建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，设N到直线OS的距离为a则A(2,0,0)，B(0,2，0)，C(2，0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N.于是(3，0)，.设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则，取x1，则y，z，n.又(0,0,2)为平面ABC的一个法向量，于是有cosn，解得a，即N(0，)，所以，N为SB的中点时，二面角NCMB的余弦值为.点评：向量既能体现“数”的运算性质，又具有“形”的直观特征因此，它是“数”与“形”合理转化的桥梁和纽带，是解决平行、垂直、角和距离的有效工具用向量解决立体几何中的探索性问题时，只要能合理地分析空间图形的位置关系和数量关系，恰当地建立空间直角坐标系，选择合理的基本向量，准确表示出相关向量，就能使几何问题代数化、复杂问题简单化、逻辑推理运算化22(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面是矩形且AD2，ABPA，PA底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上(1)求F在何处时，EF平面PBC；(2)在(1)的条件下，EF是否是PC与AD的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3)在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角解析：(1)以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直