2020年高考数学 考点14等比数列

考点14 等比数列 1.（2020辽宁高考文科3）设为等比数列的前n项和，已知,则公比q = ( )(A)3(B)4(C)5(D)6【命题立意】本题主要考查等比数列的前n项和公式，考查等比数列的通项公式。【思路点拨】两式相减，即可得到相邻两项的关系，进而可求公比q。【规范解答】选B，两式相减可得：,。故选B。2.（2020辽宁高考理科6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则( )（A） (B) (C) (D) 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式【思路点拨】列出关于a1 q 的方程组，解出a1 q 再利用前n项和公式求出【规范解答】选B。根据题意可得：3.（2020安徽高考理科10）设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是( )A、B、C、D、【命题立意】本题主要考查等比数列的性质，考查考生的观察、分析、推理能力。 【思路点拨】从整体观察，分析与，与的关系，即可得出结论。 【规范解答】选 D，设等比数列的公比为，由题意，所以，故D正确。4.（2020浙江高考理科3）设为等比数列的前项和，则（ ）（A）11 （B）5 （C） （D）【命题立意】本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式。【思路点拨】抓等比数列的基本量可解决本题。【规范解答】选D。设等比数列的公式为，则由得，。5.（2020山东高考理科9）设是等比数列，则“”是数列是递增数列的（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】分清条件和结论再进行判断.【规范解答】选C，若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得且，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件.6.（2020北京高考理科2）在等比数列中，公比.若，则m =（ ）（A）9 （B）10 （C）11 （D）12【命题立意】本题考查等比数列的基础知识。 【思路点拨】利用等比数列的通项公式即可解决。 【规范解答】选C。方法一：由得。又因为，所以。因此。方法二：因为，所以。又因为，所以。所以，即。7.（2020山东高考文科7）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( )（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】分清条件和结论再进行判断.【规范解答】选C，若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，又，解得所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列且，则公比，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件.8.（2020广东高考文科4）已知数列为等比数列，是它的前n项和若=2a1，且与2的等差中项为，则=( ) A35 B33 C31 D29【命题立意】本题考察等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前项和公式【思路点拨】由等比数列的性质及已知条件 得出，由等差数列的性质及已知条件得出，从而求出及。【规范解答】选 由，又 得 。所以， ， 故选.9.（2020福建高考理科11）在等比数列 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式= 。【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式。【思路点拨】由前3项之和等于21求出 ，进而求出通项。【规范解答】选A，, 【方法技巧】另解：，10.（2020 海南宁夏高考理科T17）设数列满足， （)求数列的通项公式： （）令，求数列的前n项和.【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前项和的求法，解决本题的关键是仔细观察形式，找到规律，利用等比数列的性质解题.【思路点拨】由给出的递推关系，求出数列的通项公式，在求数列的前n项和.【规范解答】（)由已知，当时，而，满足上述公式，所以的通项公式为.（）由可知， 从而 得 即 【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和.11.（2020陕西高考理科6）已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列（）求数列的通项公式，（）求数列的前n项和【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前项和公式的应用，考查考生的运算求解能力【思路点拨】已知关于d的方程d【规范解答】【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。2数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由求通项，累加法、累乘法等3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。4解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略12.（2020北京高考文科6）已知为等差数列，且，。（）求的通项公式；（）若等比数列满足，求的前n项和公式【命题立意】本题考查等差数列的通项公式等比数列的前n项和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。【思路点拨】（1）由可列方程解出，从而可求出通项公式；（2）求出，再求出公式。代入等比数列的前n项和公式即可。【规范解答】（）设等差数列的公差。因为 所以 解得，所以 （）设等比数列的公比为 因为 所以 即=3所以的前项和公式为13.（2020福建高考文科7）数列 中，前n项和满足- （n）. ( I ) 求数列的通项公式以及前n项和； （II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t的值。【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数方程思想、化归转化思想。 【思路点拨】第一步先求的通项，可知为等比数列，利用等比数列的前n项和求解出；第二步利用等差中项列出方程求出t 【规范解答】 ( I ) 由得，又，故，从而（II）由( I ) 从而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列可得解得。【方法技巧】要求数列通项公式，由题目提供的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数列的通项。题目要求的是项的问题，这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地，含有的递推关系式，一般利用化“和”为“项”。14.（2020湖南高考文科20）给出下面的数表序列：其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n3）（不要求证明）；（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 求和： 【命题立意】以数列为背景考查学生的观察、归纳和总结的能力。【思路点拨】在第（2）问中首先应得到数列的通项公式，再根据通项公式决定求和的方法。【规范解答】 (1) 表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1，2，3，4，行中的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列。将这一结论推广到表n（n3），即表n（n3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列。简证如下（对考生不作要求）：首先，表n（n3）各行中的第一行，1，3，5，2n-1是等差数列，其平均数为；其次，若表n的第k（1kn-1）行a1 ，a2 ，an-k+1 ，是等差数列，则它的k+1行a1+a2，a2+a3，an-k+an-k+1，也是等差数列.由等差数列的性质知，表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是由此可知，表n（n3）各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列。(2)表n的第一行是1，3，5，2n-1，其平均数是由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列，于是，表n中最后遗憾的唯一一个数为bn=n2n-1.因此，故【方法技巧】研究数列要抓住变化规律。15.（2020天津高考理科22）在数列中，且对任意.，成等差数列，其公差为。（）若=，证明，成等比数列（）（）若对任意，成等比数列，其公比为。【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。【思路点拨】利用等差、等比数列的定义证明。【规范解答】（）由题设，可得。所以=2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比数列。（）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得当1时，可知1，k从而所以是等差数列，公差为1。（）证明：，可得，从而=1.由（）有所以因此，以下分两种情况进行讨论：（1） 当n为偶数时，设n=2m()若m=1,则.若m2，则+所以(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）所以从而综合（1）（2）可知，对任意,有证法二：（i）证明：由题设，可得所以由可知。可得，所以是等差数列，公差为1。（ii）证明：因为所以。所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。从而。所以，由，可得。于是，由（i）可知以下同证法一。16.（2020湖南高考理科4）数列中，是函数的极小值点（）当a=0时，求通项； （）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。【命题立意】以三次函数为载体引出数列再考查数列，考查分类讨论思想.【思路点拨】由一元三次函数极小值的求法，引出数列，进一步研究数列. 【规范解答】易知令（1） 若3ann2,则 当x0, fn(x)单调递增；当3anxn2时，fn(x)n2时，fn(x)0, fn(x)单调递增.故fn(x)在x=n2取得最小值.（2） 若3ann2，仿（1）可得，fn(x)在x=3an取得最小值.（3） 若3an=n2，则f n(x)0, fn(x)无极值.当a=0时，a1=0，则3a112.由（1）知, a2=12=1.因3a2=332，则由（2）知，a4=3a3=34.又因为3a4=3642,则由（2）知，a5=3a4=324.由此猜测：当n3时，an=43n-3.下面先用数学归纳法证明：当n3时，3ann2.事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立.假设当n=k(k3)时，3akk2成立，则由（2）知，ak+1=3akk2,从而3ak+1-(k+1)23k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-10,所以3ak+1(k+1)2.故当n3时，3ann2成立.于是由（2）知，当n3时,an+1=3an,而a3=4,因此an=43n-3.综上所述，当a=0时，a1=0,a2=1, an=43n-3(n3).(II)存在a，使数列an是等比数列.事实上，由（2）知，若对任意的n，都有3ann2,则an+1=