2020年普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷（三）理

普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意得，选C2欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】由已知有，因为，所以在第三象限，所以，故表示的复数在复平面中位于第三象限，选C3在区间上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】如图：不妨设两个数为，故，如图所示，其概率为，故选A4下列命题中：“”是“”的充分不必要条件定义在上的偶函数最小值为5；命题“，都有”的否定是“，使得”已知函数的定义域为，则函数的定义域为正确命题的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】或，所以“”是“”的充分不必要条件；因为为偶函数，所以，因为定义区间为，所以，因此最小值为5；命题“，都有”的否定是“，使得”；由条件得，；因此正确命题的个数为，选C5九章算术中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）A90，86B94，82C98，78D102，74【答案】C【解析】执行程序：，；，；，；，故输出的，分别为，故选：C6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，该几何体的体积是，故选：D7在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则，等价于，即作出不等式组对应的平面区域如图：可知的面积为等腰直角三角形的面积，由解得，即，由解得，即，三角形的面积，故选B8若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线对称，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】，故选D9已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】，当时，当关于轴对称的函数为，由题意得：，在时有解，如图：当时，则的取值范围是，故选B10已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】，即，即，故，由知，；若对任意，恒成立，只需使，即，解得本题选择D选项11设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（ ）A5B6C7D8【答案】C【解析】取线段中点，设在底面射影为，设，则，为二面角的平面角，故选C12若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，当，函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意，对于函数，当时，分析可得：当时，有最大值，最小值，当时，函数的图象关于直线对称，则此时有，又由函数是定义在区间内的级类周期函数，且；则在上，则有，则函数在区间上的最大值为，最小值为；对于函数，有，分析可得：在上，函数为减函数，在上，函数为增函数，则函数在上，得的最小值，若，使成立，必有，即，得到范围为故答案为：B第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知菱形的边长为，则等于_【答案】【解析】菱形的边长为，故答案为：14抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为_【答案】【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于这点到准线的距离，即所以周长，填15已知点是的内心，则面积的最大值为_【答案】【解析】由题意得，在中，即，所以，当时取最大值填16已知双曲线的左、右顶点分别为、，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于，点，连接交轴于点，连接交于点，若，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：双曲线中，过左焦点且垂直于轴，假设在的上方，则，将代入双曲线的方程可得：，则，又由，则，则有，则，而，则有，即，整理可得：，则，故双曲线的离心率为故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分，每个试题12分17设是数列的前项和，已知，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1），当时，得；1分当时，当时，即，3分又，4分是以为首项，为公比的等比数列5分数列的通项公式为6分（2）由（1）知，7分，8分当为偶数时，；10分当为奇数时，12分18某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过（）次在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为，用表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则服从二项分布，即，所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率4分（2）的可能取值为：0，1，2，5分，所以的分布列为：0128分的数学期望为：，得：，所以12分19如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）设点在平面上的射影为点，连接，则平面，所以因为四边形是矩形，所以，所以平面，2分所以3分又，所以平面，4分而平面，所以平面平面5分（2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示设，则，所以，6分由（1）知，又，所以，那么，8分所以，所以，设平面的一个法向量为，则，即取，则，所以10分因为平面的一个法向量为，11分所以所以二面角的余弦值为12分20已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取依题意，圆内切于圆，设切点为，则，三点共线，为的中点，为中点，1分，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，3分设其方程为，则，动点的轨迹方程为5分（2）当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为由消去整理得7分直线与椭圆交于，两点，解得8分设，则，9分（定值）12分21已知函数（是自然对数的底数）（1）判断函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），1分当时，在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点；2分当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；3分当时，在上单调递增，此时没有极值点；4分当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；综上可得：当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点5分（2）由得当时，由不等式得，即对在上恒成立设，则设，则，在上单调递增，即，在上单调递减，在上单调递增，8分当时，不等式恒成立，；9分当时，由不等式得设，则设，则，在上单调递减，若，则，在上单调递增，若，则有，使得时，即在上单调递减，舍去综上可得，的取值范围是12分（二）选考题（共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做第一题计分）22【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；（2）若直线（为参数）与，相交于，两点，且，求的值【答案】（1）；（2）或【解析】（1）的普通方程为，把，代入上述方程得