高一数学函数的单调性和反函数人教版知识精讲

高一数学高一数学函数的单调性和反函数函数的单调性和反函数人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 函数的单调性和反函数 二. 学习目标： 1. 理解函数的单调性和函数单调增、减区间的意义，理解增减性的几何意义，能应用定 义证明函数的单调性。 2. 能判断一些简单函数在给定区间的单调性。 3. 理解反函数的概念。 4. 明确原函数与其反函数的定义域和值域间的关系。 5. 能熟练地求一些函数的反函数。 【例题讲解例题讲解】 例 1 证明函数在（0，）上是增函数。 x xxf 1 )( 2 证明：证明：设、是（0，）上任意两个值，且 1 x 2 x 21 xx ) 1 ( 1 )()( 1 2 1 2 2 212 x x x xxfxf 21 2 1 2 2 11 )( xx xx 21 12 1212 )( xx xx xxxx ) 1 )( 21 1212 xx xxxx 由，则，即 12 xx 0 1 21 12 xx xx0)()( 12 xfxf)()( 12 xfxf 故在区间（0，）上是增函数。 x xxf 1 )( 2 例 2 讨论函数的单调性，并加以证明，其中。 1 )( 2 x ax xf0a 解：解： 11 )()( 2 1 1 2 2 2 12 x ax x ax xfxf ) 1)(1( ) 1)( 2 1 2 2 2121 xx xxxxa （1）当时，1 21 xx)()( 12 xfxf （2）当时，11 21 xx)()( 12 xfxf （3）当时， 21 1xx )()( 12 xfxf 故函数分别在（，），（，1），（1，）为减函数。)(xf11 例 3 已知函数，当时是增函数，当时，)(ufnum)(xgu bxa 且为减函数，判断函数在的单调性。nxgm)()(xgf,ba 解：解：任取，且，则， 1 x 2 xbxxa 21 )( 11 xgu )( 22 xgu 由为减函数，则有，即，且)(xg)()( 21 xgxg 21 uu muun 21 又由在上为增函数，故有)(uf,nm)()( 21 ufuf 即，所以函数在上为减函数)()( 21 xgfxgf)(xgf,ba 说明：说明：已知和，则称为复合函数，复合函数单调性规律是：)(uf)(xgu )(xgf （1）为增函数，为增函数，则为增函数。)(uf)(xg)(xgf （2）为增函数，为减函数，则为减函数。)(uf)(xg)(xgf （3）为减函数，为增函数，则为减函数。)(uf)(xg)(xgf （4）为减函数，为减函数，则为增函数。)(uf)(xg)(xgf 例 4 已知，求的单调区间。 2 28)(xxxf)2()( 2 xfxg)(xg 解：解：令，则，由，知该 2 2xu 2 28)(uuuf)()(xufxg 2 2xu 函数在（，0）上是增函数，在（0，）上是减函数。 由，则在（，1）上是增函数，在（1，9) 1(28)( 22 uuuuf)(uf ）上是减函数，而或，1121 2 xxu1x111xu 利用下表 （，1 ） （，0）1（0，1）（1，） 2 2xu )(uf )(xuf 所以的单增区间为（，），（0，1），单减区间为（，0），（1，)(xg11 ） 例 5 已知（） 2 ) 1 1 ()( x x xf1x （1）求的反函数，并求出反函数的定义域。)(xf)( 1 xf （2）判断并证明的单调性。)( 1 xf 解：解： （1）由得： 2 ) 1 1 ( x x y 1 1 x x y y y x 1 1 故，由，则，值域即的定义域为 x x xf 1 1 )( 1 1x10 y)(xf)( 1 xf ) 1,0 （2）设，则，则10 21 xx10 21 xx )()( 2 1 1 1 xfxf ，即，故在上为单调递增函数。0 )1)(1 ( )(2 21 21 xx xx )()( 2 1 1 1 xfxf )( 1 xf ) 1,0 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 若函数在（，）上是减函数，则（ ）bxky) 12( A. B. C. D. 2 1 k 2 1 k 2 1 k 2 1 k 2. 函数在（，）上是（ ） 12 3 )( x xf 2 1 A. 增函数 B. 减函数 C. 有时增有时减 D. 无法判定 3. 函数是减函数的区间是（ ） ) 1(4 ) 1(12 )( xx xx xf A. B.（，1） C.（0，） D. ),1 4. 设，若，则（ ）2)( axxf2) 1( 1 fa A. 0 B. C. D. 2 3 2 3 1 二. 解答题： 5. 证明函数在（，2）上是增函数。 2 )2( 4 )( x xx