2020年高考数学 考点42曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

考点42 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.（2020山东高考理科8）已知双曲线（a0,b0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（A） （B）（C） （D）【思路点拨】先求出圆C的圆心坐标（3,0），半径r=2，再求出渐近线方程，由圆心到渐近线的距离等于半径即可得到a,b的关系，再由双曲线的右焦点为圆C的圆心知c=2，即可求出结果.【精讲精析】选A.双曲线的渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0，圆心为（3,0），半径r=2.由圆心到直线的距离为所以4a2=5b2又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以c=3，即9=a2+b2 所以，a2=5，b2=4.2（2020福建卷理科7）设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足=4:3:2，则曲线的离心率等于( )（A） （B）或2 （C）2 （D）【思路点拨】根据=4:3:2，设出，然后按曲线为椭圆或者双曲线，在中分别利用定义求离心率.【精讲精析】 选A. =4:3:2，其中，.若圆锥曲线为椭圆，则，若圆锥曲线为双曲线，则3. （2020福建卷文科11）设圆锥曲线的两个焦点分别为F1， F2，若曲线上存在点P满足：= 4:3:2，则曲线的离心率等于（ ）（A） （B）（C） （D）【思路点拨】根据=4:3:2，设出，然后按曲线为椭圆或者双曲线，在中分别利用定义求离心率.【精讲精析】选A. =4:3:2，其中，.若圆锥曲线为椭圆，则，若圆锥曲线为双曲线，则二、填空题4.（2020山东高考文科15）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .【思路点拨】先求椭圆焦点，即双曲线的焦点，再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出b，然后写出双曲线的方程.【精讲精析】由题意知双曲线的焦点为（-，0）、（，0），即c=，又因为双曲线的离心率为，所以a=2,故b2=3，所以双曲线的方程为5.（2020北京高考理科T14）曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则的面积不大于.其中所有正确的结论的序号是 .【思路点拨】写出曲线C的方程，再逐个验证三个结论.【精讲精析】.设P(x,y)为曲线C上任意一点，则由得，C:把（0，0）代入方程可得，与矛盾，故不正确；当M(x,y)在曲线C上时，点M关于原点的对称点，也满足方程，故曲线C关于原点对称，故正确；，故正确.6（2020安徽高考理科21）若，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足,求点P的轨迹方程.【思路点拨】设出点坐标，通过，等中间量建立方程，消去中间量，的点的轨迹方程【精讲精析】解：由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,),M(x,x),则即 再设由，即解得 将式代入式，消去，得 又点B在抛物线上，所以，再将式代入，得因为，两边同时除以得故所求点P的轨迹方程为.7. （2020新课标全国高考理科20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C.（）求C的方程；（）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值. 【思路点拨】第（1）问，求点的轨迹，可设点坐标为，然后利用条件得到点B的坐标，最后将条件转化为坐标关系，得到满足的关系式，化简整理即得的方程；第（2）问，设出点的坐标，利用导数求出切线的斜率，表示出的方程，再利用点到直线的距离公式求得点到距离的函数，然后利用函数的知识求出最值即可.【精讲精析】()设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由题意可知（+）=0, 即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.()设P(x,y)为曲线C：y=x -2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即.则O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.8.（2020山东高考理科22）（本小题满分14分）已知直线l与椭圆C: 交于P（x1,y1），Q(x2,y2)两不同点，且OPQ的面积,其中O为坐标原点.（）证明x12+x22和y12+y22均为定值（）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由.【思路点拨】本题重点考察学生的计算能力，相比较去年的圆锥曲线题目，今年的题目难度要大一些，是一道较好的选拔优秀学生的题目.（1）分斜率存在和不存在两种情况讨论.（2）利用第一问的结论，再应用基本不等式容易得出结论.（3）利用反证法，假设存在这样的点，经推理得出矛盾，从而证明原结论成立.【精讲精析】（）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，由在椭圆上，则，而，则.于是，.当直线的斜率存在，设直线为，代入可得，即，由得，化简得，则，满足，综上可知，.（）当直线的斜率不存在时，由（）知当直线的斜率存在时，由（）知，当且仅当，即时等号成立，综上可知的最大值为.（）假设椭圆上存在三点，使得，由（）知，.解得,，因此只能从中选取，只能从中选取，因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，故椭圆上不存在三点，使得.9.（2020山东高考文科22）（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（）若，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.【思路点拨】本题重点考察学生的计算能力，相比较去年的圆锥曲线题目，今年的题目难度要大一些，是一道较好的选拔优秀学生的题目.（I）设直线，联立方程，在由韦达定理得出中点E的坐标，由3点共线，可知解得，由基本不等式得出最小值.（II）（i）注意先求出k和n的关系，再由交点直线系方程得出l过定点. （ii）可先假设对称，然后通过运算验证这样的圆是否存在.【精讲精析】（）由题意:设直线,由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,所以中点E的坐标为,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（）（i）证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,由（i）知点G,所以点B,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E（），.AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为: .10.（2020辽宁高考理科20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由【思路点拨】（I）先利用离心率相同设出的方程和直线的方程，再求出的坐标，然后计算与的长度就可求出比值；（II）先考虑直线过原点的情况，再考虑直线不过原点的情况，此时利用斜率相等（即）建立等式关系，再考虑的因素，可得到关于的不等式，求解说明即可【精讲精析】()因为的离心率相同，故依题意可设 ：，：，（， 设直线：，分别与，的方程联立，求得 4分当时，分别用表示A，B的纵坐标，可知 :=. 6分 （）时的不符合题意时，当且仅当的斜率与的斜率相等，即，解得 ，因为，又，所以，解得，所以当时，不存在直线，使得；当时，存在直线，使得. 12分11（2020湖南高考理科T21）（13分）如图7，椭圆x轴被曲线：-b截得的线段长等于的长半轴长.（）求的方程；（）设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点A，B，直线MA，MB分别与相交于点D，E.（i）证明：MD；（ii）记的面积分别为.问：是否存在直线l，使得？请说明理由.【思路点拨】本题以椭圆和抛物线为载体，考查两曲线的基本知识.题中通过求曲线的方程考查两曲线的基本知识点的关系.第二问通过证明的考查考查逻辑思维能力和探索参数的存在考查方程.解决本题需要较强的综合运用知识的能力.考查了数形结合思想、等价转化思想和方程思想.【精讲精析】（I）由题意知，从而，又，解得。故，的方程分别为。（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由得，设，则是上述方程的两个实根，于是。又点的坐标为，所以故，即。（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.于是由得，解得或，则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标于是因此由题意知，解得 或。又由点的坐标可知，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。12（2020湖南高考文科T21）（本小题满分13分）已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹C相交于点A，B，与轨迹C相交于点D，E，求的最小值.【思路点拨】本题考查求曲线的方程，考查利用代数方法研究几何问题的基本方法，考查数形结合思想.考查运算能力，考查分析问题、解决问题的能力.【精讲精析】（I）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为由，得设则是上述方程的两个实根，于是 因为，所以的斜率为设则同理可得故当且仅当即时，取最小值1613（2020陕西高考理科T17）（本小题满分12分）如图，设P是圆上的动点，点D是P在轴上投影，M为PD上一点，且（）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度【思路点