高中数学 第二章 函数 2.1 函数的概念＂三要素的求法素材 苏教版必修1

函数的概念三要素的求法一、函数的概念：1 函数的概念：函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数 记作：y = f (x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f (x) | xA叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集.（2）函数的表示方法1解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式.2列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1. 函数y = f (x)表示（ ）Ay等于f与x的乘积Bf (x)一定是解析式Cy是x的函数D对于不同的x，y值也不同 2.下列各图中，可表示函数y =f(x)的图象的只可能是 ( )xyoxyoxyoxyo A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）A函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B函数的定义域和值域一定是无限集合C定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x) = x2 + 4x + 5，则f (2) = _ ，f (1) = _ . 5. 已知f (x) = x2 (xR)，表明的“对应关系”是_，它是_的函数. 2.映射映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.看下面的例子： 设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一一对一，多对一是映射 但一对多显然不是映射辨析：任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中xA，yB.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（CB）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = P | P是数轴上的点，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = (x | y) | xR，yR，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = x | x是三角形，集合B = x | x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = x | x是新华中学的班级，集合B = x | x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：AB不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由： A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；A=-1，0，2，B=-1，0，1/2，对应法则：“取倒数”；A=1，2，3，4，5，B=R，对应法则：“求平方根”；A=|00900，B=x|0x1，对应法则：“取正弦”.二、函数的三要素定义域、值域、对应法则（a）函数定义的理解.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.(b) 区间的概念（1）不等式axb，用闭区间a，b表示；（2）不等式axb，用开区间(a, b)表示；（3）不等式axb (或axb)用半开半闭区间a，b(或(a，b)表示；（4）xa，xa，xb，xb分别表示为a，+)，(a, +)，(, b，(, b).1.定义域的求法：例1：列函数中哪个与函数y = x相等？（1）；（2）；（3）.（4）（5）（6） 求函数的定义域的类型：一、 含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。例1 求函数f(x)=的定义域二、 含偶次根式的函数注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况. 例1 求函数y（a为不等于0的常数）的定义域. 三、 复合型函数注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例1 求函数y的定义域练习：1.求下列函数的定义域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）(a为常数).2.（1）已知函数f (x)的定义域为(0, 1)，求f (x2)的定义域. （2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f (x)的定义域. （3）已知函数f (x + 1)的定义域为2, 3，求f (2x2 2)的定义域.抽象函数（一）、已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。例1. 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为_。（2）函数的定义域为_。练习1已知f(x)的定义域为1,3,求f(x-1)的定义域.2已知函数的定义域为（0，1），则函数的定义域是_。3设函数的定义域为，给出下列函数：，其定义域仍是A的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4（江西卷3）若函数的定义域是，则函数的定义域是BA B C D（二）、已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。例2. 已知函数的定义域为，则的定义域为_。练习1已知函数的定义域为（0，1），则函数的定义域是_。2已知f(2x-1)的定义域为-1，1，求的定义域（三）、已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。例3. 函数定义域是，则的定义域是（ ）A. B. C. D. 练习1函数f(2x-1)的定义域为1,3，求函数f(x2+1)的定义域.2已知f(2x-1)定义域为0，1，求f(3x)的定义域注f(x)定义域fg(x)的定义域为D1（四）、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。例4. 已知函数的定义域是，求的定义域。练习1.若函数的定义域为-1，1，求函数的定义域。2（2020年湖北卷）设，则的定义域为 （B） A. B. C. D. 2. 求函数值域的方法：（1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0）； （2）y=4,（x0）； （3）y=,（0x2；（4）y=x(6-x)； （5）y=,（4）不等式性质法例：求下列函数的值域： （1）y=； （2）y=； （3）y= （4）y=10-； （5）逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域.例：求下列函数的值域： （1）y=； （2）y=；（6）换元法（代数换元法）：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；例：（1）；（2）1.（1）已知f (x) = 2x + 3，求f (1)，f (a)，f (m + n)，f f (x).2. （1）已知函数f (x) =，则f f f (1) = . （2）在函数f (x) =中，若f (x) = 3，则x的值是（ ）A1 B1或C D求函数的解析式求解析式的方法1、整体代换（配凑法）2、换元法（ 注意新元的取值范围）3、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）4、构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）5、赋值法例题解析：题型一、代入法求解析式例1 已知,求的解析式.练习：1、已知，求和的解析式。 题型二、换元法例3、已知,求的解析式练1、已知,求f(x)的解析式题型三、配方法求函数解析式例2、已知,求f(x)及f(x+1)的解析式。练、已知,求