函数的单调性与导数(上课)

,函数的单调性与导数,（4）.对数函数的导数:,（5）.指数函数的导数:,（3）.三角函数：,（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；,（2）.幂函数：(xn)/nxn1,一、复习回顾：基本初等函数的导数公式,二、导数的运算法则:(和差积商的导数),(轮流求导之和),函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2D且x1x2时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有f(x1)f(x2)，,则f(x)在D上是增函数；,2）都有f(x1)f(x2)，,则f(x)在D上是减函数；,若f(x)在D上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则f(x)在D上具有严格的单调性。,D称为单调区间,D=(a,b),二、复习引入:,观察:,下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?,a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1),(2),x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y=x,y=x2,y=x3,观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.,如果恒有，则是常数。,题1已知导函数的下列信息:,当1x4,或x1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.,解:,当1x4,或x0(或f(x)0)(4)确认并指出递增区间（或递减区间）,练习,判断下列函数的单调性,并求出单调区间:,例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.,练习,2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状,练习,3.讨论二次函数的单调区间.,解:,由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是,由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是,练习,4.求证:函数在内是减函数.,解:,由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.,一、求参数的取值范围,增例2：求参数,解：由已知得,因为函数在（0，1上单调递增,增例2：,在某个区间上，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证,增例2：,本题用到一个重要的转化：,例3：方程根的问题求证：方程只有一个根。,作业：已知函数f(x)=ax+3x-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。,(A),(B),(C),(D),C,(04浙江理工类),高,考,试,尝,设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是(),1.求过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程,求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否在曲线上，还要分“该点是切点”和“该点不是切点”两种情况进行讨论，解法复制