《三维设计》2020高三数学 第二单元 基本初等函数（I）和导数15.导数的应用课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1函数f(x)2x43x21在区间，2上的最大值和最小值分别是()A21， B1，C21,0 D0，答案：A2函数f(x)1xsinx在(0,2)上是()A增函数B减函数C在(0，)上增，在(，2)上减D在(0，)上减，在(，2)上增解析：f(x)1cosx0，f(x)在(0,2)上递增答案：A3f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能的是图中的()解析：x(，2)(0，)时f(x)0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点答案：C5已知f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是()A0 B1C2 D3解析：f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即：a3x2在1，)上恒成立，而(3x2)min3123.a3，故amax3.答案：D6f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)解析：xf(x)f(x)0，又f(x)0，xf(x)f(x)0，设y，则y0，故y为减函数或常函数又a0，则af(b)bf(a)答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7函数f(x)x2lnx的最小值为_解析：得x1，得0x1.f(x)在x1时取最小值f(1)ln1.答案：8已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取极值10，则f(2)_.解析：f(x)3x22axb，由题意即得a4或a3.但当a3时，f(x)3x26x30，故不存在极值，a4，b11，f(2)18.答案：189给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sinxcosx；f(x)lnx2x；f(x)x32x1；f(x)xex.解析：对于，f(x)(sinxcosx)，x(0，)时，f(x)0恒成立；对于，f(x)，在x(0，)时，f(x)0恒成立；对于，f(x)6x，在x(0，)时，f(x)0恒成立，所以f(x)xex不是凸函数答案：三、解答题(共3小题，满分35分)10已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)若yf(x)图象上的点(1，)处的切线斜率为4，求yf(x)的极大值解：(1)f(x)x22axb，由题意可知：f(1)4且f(1)，即解得f(x)x3x23x，f(x)x22x3(x1)(x3)令f(x)0，得x11，x23.由此可知，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)0来源:Z|xx|k.Com0f(x)极大值极小值当x1时，f(x)取极大值.11已知函数f(x)xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)讨论关于x的方程f(x)m0(mR)的解的个数解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)lnx1，令f(x)0，得x.当x(0，)时，f(x)，f(x)的变化情况如下：xf(x)0f(x)极小值所以，f(x)在(0，)上最小值是f.(2)当x时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；当x时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.下面讨论f(x)m0的解：当m时，原方程无解；当m或m0时，原方程有唯一解；当m0时，原方程有两个解12已知函数f(x)(a1)lnxax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a2，证明：对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.解：(1)由题知f(x)的定义域为(0，)f(x)2ax.当a0时，故f(x)0，f(x)在(0，)上单调增加；当a1时，f(x)0，故f(x)，在(0，)上单调减少；当1a0时，令f(x)0，解得x.则当x(0，)时，f(x)0；x( ，)时，f(x)0.故f(x)在(0, )上单调增加，在( ，)上单调减少(2)证明：不妨假设x1x2.由(1)知当a2时，f(x)在(0，)上单调减少，所以|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于f(x2)f(x1)4x14x2，来源:Zxxk.Com即f(x2)4x2f(x1)4x1.令g(x)f(x)4x，则g