电路分析-拉普拉斯变换

,第15章拉普拉斯变换,15.9卷积定理,15.1拉普拉斯变换,15.2常用函数的拉普拉斯变换,15.3拉普拉斯变换的基本性质,15.5复频域中的电路定律、电路元件与模型,15.6拉普拉斯变换法分析电路,15.7网络函数,15.8网络函数的极点和零点,15.4拉普拉斯反变换,本章重点,本章重点,返回目录,15.1拉普拉斯变换,一、拉氏变换（Laplacetransformation）的定义,（Laplacetransformation）,（inverseLaplacetransformation）,f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换（Laplacepairs）对。,f(t)，t0,)称为原函数（originalfunction），属时域（timedomain）。原函数f(t)用小写字母表示，如i(t)，u(t)。,F(s)称为象函数（transformfunction），属复频域（complexfrequencydomain）。象函数F(s)用大写字母表示，如I(s)，U(s)。,称为复频率（complexfrequency）。,积分下限从0开始，称为0拉氏变换。,积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换。,0+拉氏变换和0拉氏变换的区别：,为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变换定义式中积分下限从0-开始。,二、拉氏变换存在条件,不同的f(t)，0的值不同，称0为复平面s内的收敛横坐标。,电工中常见信号为指数阶函数，即,由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论中一般不再写出其收敛范围。,返回目录,=1,15.2常用函数的拉普拉斯变换,例求图示两个函数的拉氏变换式,解由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个函数的拉氏变换式相同,返回目录,-1,15.3拉普拉斯变换的基本性质,一、线性（linearity）性质,二、原函数的微分（differentiation）,三、原函数的积分（integration）,例,四、时域平移（timeshift）,平移,不是平移,例1求图示函数的拉氏变换式,例2求图示函数的拉氏变换式,例3周期函数（periodicfunction）的拉氏变换。,设f1(t)为第一个周期的函数，,五、复频域平移（frequencyshift）,六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理,初值定理若f(t)=F(s)，且f(t)在t=0处无冲激，则,例1,例2,例3,例1,例2,例3,返回目录,15.4拉普拉斯反变换,一、由象函数求原函数,（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表,象函数的一般形式：,二、将F(s)进行部分分式展开（partial-fractionexpansion）,f(t)=L-1F(s),等式两边同乘(s-s1),ki也可用分解定理求,等式两边同乘（s-si）,应用洛比达法则求极限,例1,例2,用分解定理,例3,mn，用长除法，得,k1,k2也是一对共轭复数。,假设只有两个根,可据前面介绍的两种方法求出k1,k2。,设,例,法一：,部分分式展开，求系数。,法二：,将F2(s)改写为(s)2+2,等式两边乘,例1,例2,等式两边乘,一般多重根情况,返回目录,一、电路元件的运算形式（operatorform）,电阻R,u=Ri,15.5复频域中的电路定律、电路元件与模型,电感L,电容C,互感M,受控电源,二、电路定律的运算形式,设电路无初始储能,运算形式的欧姆定律,三、运算电路模型,（1）电压、电流用象函数形式。,（2）元件用运算阻抗或运算导纳。,（3）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。,uC(0-)=25ViL(0-)=5A,换路后运算电路,解,返回目录,15.6拉普拉斯变换法分析电路,步骤,（1）由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)；,（2）画运算电路模型；,（3）应用电路分析方法求出待求变量的象函数；,（4）反变换求原函数。,t=0时闭合S，求iL，uL。,例1,（2）画运算电路,解,（4）反变换求原函数,校核初值和终值,要考虑初值,思考：uL是哪两端的电压？,例2求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC(t)。,返回目录,15.7网络函数（NetworkFunction）,一、定义,单个独立源作用的线性网络,转移函数（transferfunction）,1.策动点函数,策动点阻抗,策动点导纳,2.转移函数（传递函数）,转移导纳,转移阻抗,转移电压比,转移电流比,二、网络函数的具体形式,三、单位冲激响应与网络函数的关系,若单位冲激响应h(t)已知，则任意激励e(t)产生的响应r(t)可求。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。,返回目录,15.8网络函数的极点（Pole）和零点（Zero）,一、复频率平面,在复平面上用“”表示极点，用“。”表示零点。,例,绘出其极零点图。（pole-zerodiagram）,二、极点分布与冲激响应的关系,H(s)在s平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。,极点的位置决定冲激响应的波形。,极点和零点共同决定冲激响应的的幅值。,网络函数极点的位置决定了系统的稳定性（stability）。,全部极点在s左半平面的电路动态响应是稳定的；有位于s右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点在s平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界稳定的。,网络函数极点是该网络变量的固有频率。,R(s)=H(s)E(s),系数Ai和Aj是由零点和极点共同决定。,返回目录,设D(s)和E(s)没有相同的极点,15.9卷积（Convolution）定理,R(s)=E(s)H(s),证明,延时,例已知