2020高考数学总复习 第五单元第八节正、余弦定理的应用举例

第五单元 第八节正、余弦定理的应用举例一、选择题1.如图，为了测量障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据为了简便，测量时应当用数据()A，a，b B， Ca，b， Da，b，【解析】测得a，b，后，由余弦定理即可计算A、B间的距离【答案】C2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的关系为()A BC90 D180【解析】由仰角和俯角的定义知，与的余角为夹在两水平线之间的内错角关系，故90.【答案】C3已知两灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60的方向上，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10【解析】如图，由题意知ACB80，ACBC，CABABC50.MBCN，MBCNCB60，MBAMBCABC10，即灯塔A在灯塔B的北偏西10方向上【答案】B4(精选考题池州模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5 海里C10海里 D10 海里【解析】如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，得AB5，所以这艘船的速度是10(海里/小时)【答案】C5.如图所示，B、C、D在地平面同一直线上，DC10 m，从D、C两地测得A的仰角分别为30、45，则点A距地面的距离等于()A10 m B5 m C5(1) m D5(1) m【解析】设点A距地面的距离等于x，则BCx，ACx，在ADC中，由正弦定理得，解得x5(1)【答案】D6.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC.a km D2a km【解析】易知ACB120，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a23a2，ABa.【答案】B7一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A. 海里/小时 B34 海里/小时C. 海里/小时 D34 海里/小时【解析】如图所示，在PMN中，MN34，v (海里/小时)【答案】A二、填空题8在ABC中，AC，BC2，B60，则A_.【解析】由正弦定理，sinA.BC2AC，A为锐角，A45.【答案】459在ABC中，BC1，B，当ABC的面积等于时，tanC_.【解析】SABCacsinB，c4，b2a2c22accosB13，cosC，sinC，tanC2.【答案】210(精选考题舟山调研)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，则甲船应取_方向才能追上乙船【解析】如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BCtv，ACtv，B120.由正弦定理知，sinCAB，CAB30，故甲船应取北偏东30方向【答案】北偏东30三、解答题11如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离【解析】在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又因为BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.在ABC中，即AB，因此，BD(km)故B，D的距离为 km.12.(精选考题陕西高考)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解析】由题意知AB5(3)(海里)，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)，又DBCDBAABC30