【赢在高考】2020届高考物理一轮配套练习 7.7 立体几何中的向量方法 理 苏教版

第七节 立体几何中的向量方法 强化训练当堂巩固1.设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若则k等于( ) A.2B.-4C.4D.-2 答案:C 解析:(-2, k=4. 2.如图,在长方体ABCD-中则与平面所成角的正弦值为 ( ) A.B.C.D. 答案:D 解析:以D点为坐标原点,以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略), 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0 且为平面的一个法向量. cos. 与平面所成角的正弦值为. 3.长方体ABCD-中E为的中点,则异面直线与AE所成角的余弦值为 . 答案: 解析:建立坐标系如图, 则A(1,0,0),E(0,2,1), B(1 cos. 4.如图,在四棱锥P-ABCD中底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点. (1)求证:; (2)求DB与平面DEF所成角的正弦值. 解:以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图).设AD=a,则D(0,0,0), A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0), 0,a),. (1)证明:0, . (2)设平面DEF的法向量为n=(x,y,z), 由 得 即 取x=1,则y=-2,z=1, n=(1,-2,1), cos. 设DB与平面DEF所成角为则sin. 课后作业巩固提升见课后作业A 题组一 利用空间向量证明平行、垂直问题 1.下列命题中,正确命题的个数为( ) 若nn分别是平面的法向量,则nn;若nn分别是平面的法向量,则nn;若n是平面的法向量,向量a与共面,则na=0;若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直. A.1B.2 C.3D.4 答案:C 解析:结合平面法向量的概念,易知正确,故选D. 2.在正方体ABCD-中,若E为的中点,则直线CE垂直于( ) A.ACB.BD C.D. 答案:B 解析:如图所示,易证平面又平面. 3.如图,在正方体ABCD-中,棱长为a,M、N分别为和AC上的点则MN与平面的位置关系是( ) A.相交B.平行 C.垂直 D.不能确定 答案:B 解析:正方体棱长为 . 又是平面的法向量, 且 MN平面. 4.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(0,2,1),b那么这条斜线与平面的夹角是( ) A.90B.60C.45 D.30 答案:D 解析:cos因此a与b的夹角为30. 题组二 利用空间向量求空间角 5.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( ) A.75B.60C.45 D.30 答案:C 6.在正方体ABCD-中,M、N分别为棱和的中点,则sin的值为( ) A. B. C. D. 答案:B 解析:设正方体棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴为z轴建立空间直角坐标系,可知 cos sin. 7.如图所示,正方体ABCD-中,E、F分别是正方形和ABCD的中心,G是的中点,设GF、与AB所成的角分别为、则等于( ) A.120B.60C.75 D.90 答案:D 解析:建立坐标系如图,则 B(2,0,0),A(2,2,0),G(0,0,1),F(1,1,0),E(1,2,1). 则 cos coscossin cossin. 8.正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是 . 答案:30 解析:如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz. 设OD=SO=OA=OB=OC=a, 则A(a,0,0),B(0,a,0), C(-a,0,0) 则 设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1), 则cos , 直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30. 题组三 综合问题 9.如图,在正三棱柱ABC中则二面角ABC的余弦值为 . 答案: 解析:如图建立空间直角坐标系, 则A(0 . 设n=(x,y,z)为平面的法向量, 则 取n 取m=(0,0,1),作为平面ABC的法向量.则cos. 二面角-AB-C的余弦值为. 10.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形底面ABCD,点E是棱PB的中点.则直线AD与平面PBC的距离为 . 答案: 解析:如图,以A为坐标原点,射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴,建立空间直角坐标系A-xyz. 设D(0,a,0),则. 因此 则所以平面PBC. 又由ADBC知AD平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为|. 11.如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-是正方体,其中. (1)求证:; (2)求平面PAD与平面所成锐二面角的余弦值. 解:以为原点所在直线为x轴所在直线为y轴所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系, 则 D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4). (1)证明: 0, . (2)平面的法向量为. . 设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则nn. 取n=(0,-2,1), 设所求锐二面角为则 cos. 12.如图,已知等腰直角三角形RBC,其中,RB=BC=2.点A、D分别是RB、RC的中点,现将RAD沿着边AD折起到PAD位置,使连接PB、PC. (1)求证:; (2)求二面角A-CD-P的平面角的余弦值. 解:(1)证明:点A、D分别是RB、RC的中点, AD , 平面PAB. 平面PAB,. (2)方法一:取RD的中点F,连接AF、PF. RA=AD=1, . 平面RBC. 平面RBC, . 平面PAF.平面PAF, . 是二面角A-CD-P的平面角. 在RtRAD中 在RtPAF中 cos. 二面角A-CD-P的平面角的余弦值是. 方法二:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 则D(-1,0,0),C(