2020高考数学 课后作业 3-7 应用举例 新人教A版

2020高考数学人教A版课后作业1.(2020舟山期末)某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为()A. B2C2或 D3答案C解析如图，ABC中，AC，BC3，ABC30，由余弦定理得， AC2AB2BC22ABBCcosABC，3x296xcos30，x或2.2为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是()A20m B20mC20(1)m D30m答案A解析如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB20m，所以BM20m.又在RtAMD中，DM20m，ADM30，AMDMtan30(m)，ABAMMB2020m.3一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60西，另一灯塔在船的南75西，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里答案C解析如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，求得AB5，这艘船的速度是10(海里/小时)4(文)(2020广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()km.()Aa B.aC2a D.a答案D解析依题意得ACB120.由余弦定理cos120AB2AC2BC22ACBCcos120a2a22a23a2ABa.故选D.(理)(2020北师大附中模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里答案A解析如图，由条件可知ABC中，BAC30，ABC105，AB20，ACB45，由正弦定理得，BC10，故选A.5在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为_m()A237 B227C247 D257答案A解析如图，D45，ACB60，DC100，DAC15，AC，ABACsin60237.选A.6一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.答案30解析如图，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在三角形AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km).1.(2020沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1 B2sin10C2cos10 Dcos20答案C解析如图，BD1，DBC20，DAC10，在ABD中，由正弦定理得，AD2cos10.2江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距()A10m B100mC20m D30m答案A解析设炮塔顶A、底D，两船B、C，则BAD45，CAD30，BDC30，AD30，DB30，DC10，BC2DB2DC22DBDCcos30300，BC10.3.如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x_.答案解析由题知，CBA75，BCA45，BAC180754560，x.4(2020洛阳部分重点中学教学检测)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且POQ90，再过一分钟，该物体位于R点，且QOR30，则tanOPQ的值为_答案解析由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQQR，不妨设其长度为1.在RtPOQ中，OQsinOPQ，OPcosOPQ，在OPR中，由正弦定理得，在ORQ中，两式两边同时相除得tanOPQ.5(2020东北三校二模)港口A北偏东30方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？解析在BDC中，由余弦定理知，cosCDB，sinCDB.sinACDsin(CDB)sinCDBcoscosCDBsin.在ACD中，由正弦定理知AD2115.此时轮船距港口还有15海里6.(2020郑州一测)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，观察点A、B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒A地测得该仪器在C处时的俯角为15，A地测得最高点H的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)解析由题意，设|AC|x，则|BC|x340x40，在ABC内，由余弦定理：|BC|2|BA|2|CA|22|BA|CA|cosBAC，即(x40)2x210000100x，解得x420.在ACH中，|AC|420，CAH301545，CHA903060，由正弦定理：，可得|CH|AC|140.答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米7(2020茂名期末)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c2，C，且ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sinCsin(BA)sin2A，试判断ABC的形状解析(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcosC得a2b2ab4.又ABC的面积为，absinC，ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由sinCsin(BA)sin2A，得sin(AB)sin(BA)2sinAcosA，即2sinBcosA2sinAcosA，cosA(sinAsinB)0，cosA0或sinAsinB0，当cosA0时，0A，A，ABC为直角三角形；当sinAsinB0时，得sinBsinA，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形ABC为等腰三角形或直角三角形8.如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一轮船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解析在ABC中，BC30，B30，ACB135，BAC15.由正弦定理知，即.AC60cos1560cos(4530)60(cos45cos30sin45sin30)15()(海里)于是，A到BC所在直线的距离为：ACsin4515()15(1)40.98(海里)它大于38海里，所以船继续向南航行，没有触礁的危险1(2020浙江金华十校模考)在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30，俯角30的B处沿直线行驶，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60，俯角60的C处，则轮船航行速度是_千米/小时答案2解析如图，B在岛的北偏东30，C在岛的北偏西60，BAC90，B点俯角30，APB60，C点俯角60，APC30，又AP1，AB，AC，BC，又从B到C行驶了10分小时，船航行速度为每小时62km.2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S(b2c2a2)，若a10，则bc的最大值是_答案10050解析由题意得，bcsinA(b2c2a2)，a2b2c22bcsinA，结合余弦定理得，sinAcosA，A，又根据余弦定理得100b2c2bc2bcbc，bc10050.3(2020重庆文)设ABC的内角A、B、C对边长分别为a、b、c且3b23c23a24bc.(1)求 sin A的值：(2)求的值解析(1)由余弦定理得cosA，又0A，故sinA.(2)原式.4在ABC中，tanA，tanB.(1)求角C的大小；(2)若ABC最大边的边长为，求最小边的边长解析(1)C(AB)，tanCtan(AB)1.又0C，C.(2)C，AB边最大，即AB.又tanAtanB，A、B，角A最小，BC边为最小边由，且A，得sinA.由得，BCAB.所以，最小边BC.5(2020广东玉湖中学)如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得ADCD，AD10km，AB14km，BAD60，BCD135，求两景点B与C的距离(精确到0.1km)参考数据：1.414，1.732，2.236.解析在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos60，整理得：x210x960，解之得，x116，x26(舍去)，由正弦定理得，BCsin30811.3(km)答：两景点B与C的距离约为11.3km.6.如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东(arctan)的方向作匀速直线航行，速度为10海里/小时(1)求出发后3小时时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？(3)两船在航行中能否相遇？试说明理由解析以A为原点，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x115tcos4515t，y1x115t, 由arctan可得，cos，sin，故x210tsin10t，y210tcos4020t40，(1)令t3，则P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,