【绿色通道】2020高考数学总复习 单元质量检测4 新人教A版

单元质量检测(四)一、选择题1若复数(a24a3)(a1)i是纯虚数，则实数a的值是()A1B3C1或3 D1解析：由题意知，解得a3.答案：B2复数的虚部是()A.i B.Ci D解析：i，虚部为.答案：B3平面向量a，b共线的充要条件是()Aa，b方向相同Ba，b两向量中至少有一个为零向量CR，baD存在不全为零的实数1，2，1a2b0解析：A中，a，b同向则a，b共线；但a，b共线则a，b不一定同向，因此A不是充要条件若a，b两向量中至少有一个为零向量，则a，b共线；但a，b共线时，a，b不一定是零向量，如a(1,2)，b(2,4)，从而B不是充要条件当ba时，a，b一定共线；但a，b共线时，若b0，a0，则ba就不成立，从而C也不是充要条件对于D，假设10，则ab，因此a，b共线；反之，若a，b共线，则ab，即manb0.令1m，2n，则1a2b0.答案：D4如下图所示，已知梯形ABCD中，ABCD，且AB3CD，M，N分别是AB，CD的中点，设e1，e2，可表示为()Ae2e1 Be2e1Ce2e1 De2e1解析：()()2()2(e1e2)e1e1e2e1e2e1.答案：C5向量a，b满足|a|1，|b|，(ab)(2ab)，则向量a与b的夹角为()A45 B60C90 D120解析：由(ab)(2ab)得(ab)(2ab)0，即2|a|2|a|b|cos|b|20，把|a|1，|b|代入得cos0，90(其中为两向量的夹角)答案：C6设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2，2，2，则与()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：2，2，.2，22，.2，2，.与反向平行答案：A7已知非零向量a，b，若ab0，则等于()A. B2C. D1解析：1.答案：D8在ABC中，若2，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形解析：因为()，故2()0，即B.答案：B9(2020广东高考)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A6 B2C2 D2解析：如图，F3的大小等于F1、F2的合力的大小由平面向量加法的三角形法则知，在OAB中OB的长就是F1、F2的合力的大小，且在OAB中，OAB120，OBFF2F1F2cos1202，即F3为2.答案：D10(2020佛山二检)函数ytan(x)的部分图象如下图所示，则()()A6 B4C4 D6解析：函数ytan(x)的图象是由ytanx的图象向右平移个单位，再将图象的横坐标扩大为原来的倍得到，所以点A的坐标为(2,0)，令tan(x)1得x，故可得B点坐标为(3,1)，所以()(5,1)(1,1)6.答案：D11(2020温州二测)设点P为ABC的外心(三条边垂直平分线的交点)，若AB2，AC4，则()A8 B6C4 D2解析：我们可以采用特殊方法解答，设A(1,0)，B(1,0)，C(1,4)，则外心P为(0,2)，故(1,2)，(2,4)，故6.答案：B12(2020福州教学检查)已知P是ABC所在平面内的一点，若(其中R)，则点P一定在()AABC的内部 BAC边所在的直线上CAB边所在的直线上 DBC边所在的直线上解析：化简即得，由共线向量的充要条件可知，点P，A，C三点共线，所以答案选B.答案：B二、填空题13若复数(aR，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a_.解析：i，a6.答案：614向量a(cos10，sin10)，b(cos70，sin70)，|a2b|_.解析：|a2b|.答案：15(2020深圳一调)已知AD是ABC的中线，(，R)，那么_；若A120，2，则|的最小值是_解析：若AD为ABC的中线，则有()，1.|2()2(|2|22)(|2|24)，|2|22|28，所以|1.答案：1116(2020安徽高考)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动若xy，其中x，yR，则xy的最大值是_解析：以O为坐标原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，则可知A(1,0)，B(，)，设C(cos，sin)(0，)，则有xcossin，ysin，所以xycossin2sin()，所以当时，xy取得最大值为2.答案：2三、解答题17如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示，.解法一：设a，b，则ad(b)bc(a)将代入得ad()c(a)adc，代入得bc()(dc)cd.解法二：设a，b.因M，N分别为CD，BC中点，所以b，a.因而，即(2dc)，(2cd)18设a(1,1)，b(4,3)，c(5，2)，(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求1和2，使c1a2b.解：(1)a(1,1)，b(4,3)，且1314，a与b不共线又ab14131，|a|，|b|5，cosa，b.(2)ac151(2)7，c在a方向上的投影为.(3)c1a2b，(5，2)1(1,1)2(4,3)(421，132)，解得.19设ABC的外心为O，则圆O为ABC的外接圆，垂心为H.求证：.证明：延长BO交圆O于D点，连AD、DC，则BD为圆O的直径，故BCDBAD90.又AEBC，DCBC，得AHDC，同理DACH.四边形AHCD为平行四边形，.又，.又，.20(1)如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若a，b，试用a，b表示，并判断与的关系；(2)受(1)的启示，如果点A1，A2，A3，An1是AB的n(n3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论解：(1)()ab.同理ab，ab.(2)OAn1OAn2.证明如下：由(1)可推出()，ab，同理OAn1ab，ab，OAn2ab，因此有OAn1OAn2.21已知ABC的面积S满足S3，且6，与的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()sin22sincos3cos2的最小值解：(1)由题意知：|cos6S|sin()|sin得tan，即3tanS.由S3，得3tan3，即tan1.为与的夹角，(0，)，(2)f()sin22sincos3cos21sin22cos22sin2cos22sin(2)，2，当2，即时，f()有最小值为3.22(2020江苏高考)设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tantan16，求证：ab.解：