高一数学逻辑联结词与四种命题知识精讲

高一数学逻辑联结词与四种命题【本讲主要内容】逻辑联结词与四种命题含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式；四种命题的关系，充分、必要条件。【知识掌握】【知识点精析】1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。3、简单命题和复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题。由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。4、真值表：非 或 且 真真假真真真假 真假假真真真假假假 假假为了正确判断复合命题的真假，首先应该确定复合命题的形式，然后指出其中简单命题的真假，再根据真值表判断这个复合命题的真假。5、四种命题的形式：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的逆否命题。原命题 ： 若 则 ；逆命题 ： 若 则 ；否命题 ： 若 则 ；逆否命题 ：若 则 。一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真；原命题的逆命题为真，原命题的否命题一定为真。6、一般地，如果已知，那么我们就说是成立的充分条件；q是p成立的必要条件；如果既有，又有qp 那么我们就说是成立的充分必要条件。【解题方法指导】例1. “已知、是实数，若，则。”写出上述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假。点拨：“已知，是实数”是大前提，写四种命题时应该保留。这里原命题的条件是“，都分别大于，”，结论是“”。解：原命题可以写成：已知，是实数，若，都分别大于， ，则，原命题为真。逆命题：已知 ， ， ， 是实数，若 ，则 ， 都分别大于 ， 。逆命题为假，可举一反例说明：如8344，但84，34。否命题：已知 ， ， ， 是实数，若 ， 不都分别大于 ， ，则 ，否命题为假。逆否命题：已知 ， ， ， 是实数， ，则 ， 不都分别大于 ， ，逆否命题为真。点评：注意，该原命题常表示成：已知 ， ， ， 是实数，若 ， ，则 。写出它的逆命题、否命题、逆否命题问题就变复杂了。因此解答本题时，原命题表示方法采用了变通形式。例2. 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断它们的真假。（1）三个角相等的三角形不是直角三角形；（2） 的元素既是 的元素又是 的元素；（3）若 是 的元素或 是 的元素，则 是 的元素；（4）两条对角线垂直的平行四边形是菱形或正方形；（5） 不是方程 的解。解：（1）这个命题是“非 ”的形式，其中 ：三个角相等的三角形是直角三角形。因为 是假命题，所以这个命题是真命题。（2）这个命题是“ 且 ”的形式，其中 ： 的元素是 的元素， ： 的元素是 的元素。因为 、 都是真命题，所以这个命题是真命题。（3）这个命题是“ 或 ”的形式，其中 ：若 是 的元素，则 是 的元素， ：若 是 的元素，则 是 的元素。因为 、 都是真命题，所以这个命题是真命题。（4）这个命题是“ 或 ”的形式，其中 ：两条对角线垂直的平行四边形是菱形， ：两条对角线垂直的平行四边形是正方形。因为 是真命题， 是假命题，所以这个命题是真命题。（5）这个命题是“非 ”的形式，其中 ： 是方程 的解。因为 是真命题，所以这个命题是假命题。例3. 指出下列各组命题中， 是 的什么条件（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种）。（1） ：四边形对角线互相平分； ：四边形是矩形。（2） ： ； ：抛物线 过原点。（3） ： ； ： 。（4） ：方程 有一根为1； ： 。（5） ： ； ：方程 有实根。（6）：；：解：（1）四边形对角线互相平分 四边形是矩形。四边形是矩形 四边形对角线互相平分。所以 是 的必要而不充分条件。（2） 抛物线 过原点，抛物线 过原点 。所以 是 的充要条件。（3） 。所以 是 的充分而不必要条件。（4）方程 有一根为 。 方程 有一根为1。所以 是 的充要条件。（5） 方程 有实根，方程 有实根 。所以 是 的充分而不必要条件。（6）利用集合的图示法，知 所以 是 的充要条件。注意：第（5）小题也可从集合观点入手研究其充分必要性。实际上， ： ， ： 。因为 ，所以 是 的充分而不必要条件。【考点突破】【考点指要】在高考中主要考查四种命题，逻辑联结词等知识点，属容易题，并且以四种命题、逻辑联结词、充要条件等知识作为工具考查三角、立体几何、解析几何中的知识点，题型主要是选择和填空题。另外，逻辑推理知识是一个新的命题背景。高考所占比重5分。【典型例题分析】 例4. （1）（05北京，2）“”是直线与直线互相垂直的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件答案：B解：所给两直线互相垂直的充要条件是解得显然，所给条件“”能推出两直线互相垂直，但两直线互相垂直，m不一定为，故选B。点评：本题考查了两直线的位置关系，充要条件等知识。（2）（05黄冈荆洲4月，5）如果命题“（p或q）”为假命题，则（ ）A. p，q均为真命题B. 均为假命题C. p，q中至少有一个为真命题D. p，q中至多有一个为真命题答案：C解析：“（p或q）”为假命题则“p或q”为真命题，故选C。点评：本题考查了逻辑联结词的定义及判断简单命题的真假。以上两题，均属简单题。 例5. （03鞍山一模）已知p：，q：若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。解：由得p：非p：或由得q：（m0）非q：设非p是非q的必要不充分条件，又m0，解得：m的取值范围是：点评：本题考查了充要条件、不等式的解法、集合间的关系等知识，属中档题。【综合测试】一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. 下列语句中的简单命题是（ ）A. 不是有理数 B. ABC不是等腰直角三角形C. 3X20 D. 负数的平方是正数2. 已知下列三个命题方程x2x20的判别式小于或等于零；矩形的对角线互相垂直且平分；2是质数，其中真命题是（ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 只有3. 下列结论中正确的是（ ）A. 命题p是真命题时，命题“p且q”定是真命题B. 命题“p且q”是真命题时，命题p一定是真命题C. 命题“p且q”是假命题时，命题P一定是假命题D. 命题p是假命题时，命题“p且q”不一定是假命题4.（2002河南、广西、广东7）函数f（x）x|xa|b是奇函数的充要条件是（ ）A. ab0B. ab0C. abD. a2b205.（2001上海，3）a3是直线l1：ax2y3a0和直线l2：3x（a1）ya7平行且不重合的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件6.（2000上海春，15）“a1”是“函数ycos2axsin2ax的最小正周期为”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7. 分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空： 命题“非空集A中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是 的形式；命题“非空集AB中的元素是A中元素或B中的元素”是 的形式；命题“非空集CUA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是 的形式。8.（2001天津理，15）在空间中若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。以上两个命题中，逆命题为真命题的是_。9. 如果a、b、c都是实数，那么p：ac0对于一切实数x都成立的充要条件是0a4。（12分）14. 设平面上有六个圆，每个圆的圆心都在其余各圆的外部，试用反证法证明平面上任一点都不会同时在这六个圆的内部。（12分）【综合测试答案】一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. D2. B3. B4. D解析：若a2b20，即ab0时，f（x）（x）|x0|0x|x|f（x）a2b20是f（x）为奇函数的充分条件又若f（x）为奇函数即f（x）x|（x）a|b（x|xa|b），则必有ab0，即a2b20，a2b20是f（x）为奇函数的必要条件5. C解析：当a3时，直线l1：3x2y90，直线l2：3x2y40显然a3l1l26. A解析：若a1，则ycos2xsin2xcos2x，此时y的最小正周期为，故a1是充分条件而由ycos2axsin2axcos2ax，此时y的周期为，a1，故a1不是必要条件二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7. p且q,p或q，非p 8. 解析：中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三点都不共线，但A1B1C1D1四点共面，所以中逆命题不真中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点所以中逆命题是真命题9. 充分必要 10. 0；4;原命题、逆命题、否命题、逆否命题三、解答题11. （1）“若a是正数，则a的平方根不等于0”逆命题是：“若a的平方根不等于0，则a是正数”，否命题是“若a不是正数，则它的平方根等于0，”逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”。（2）“若平行四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形”，逆命题是：“若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等”，否命题是：“若平行四边形的两条对角线相等，则它是矩形”，逆否命题是：“若平行四边形是矩形，则它的两条对角线相等。”12.