高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制素材 新人教B版必修4（通用）

1.1任意角的概念和弧度制整理知识1 .任意角(1)角的定义静态定义：由具有共同端点的两条线构成的图形称为角，该共同端点称为角的顶点，这两条线称为角的边。动态定义：将一条线围绕其端点从一个位置旋转到另一个位置的模式称为角，将旋转的线的端点称为角的顶点，将开始位置的线称为角的始端，将结束位置的线称为角的终端。(2)在平面内，一条放射线绕其端点旋转是顺时针和逆时针两个相反方向。 习惯上，逆时针旋转的角称为正角，逆时针旋转的角称为正角，逆时针旋转的角称为正角，逆时针旋转的角称为正角。 顺时针旋转的角称为负角。在放射线没有旋转时，也被视为角，通过旋转产生的角通常称为零角。 由此，形成任意大小的角度，即任意角度(3)角的表记：用希腊文字表示的3个大写英文字母表示(字母前面写着“卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653(4)角的分类：按旋转方向分为正角、零角、负角，根据最终边的位置分为象限角和象限角2 .终点相同的角(1)将角起始边与x轴的正半轴重合，将角的顶点与原点重合，规定在直角坐标系上设置角，这样赋予角时，唯一的终端边对应，但对于直角坐标系内的任一放射线，将其作为终端边的角有无数个.(2)与角终端边相同的角包含角，一个集合S=|= k360，kZ，即，与角的终端边相同的角能够以角与整数个周角之和的形式表示.3 .象限角和象限角(1)象限角：在平面直角坐标系xOy中，角顶点始终与坐标原点重叠，角的起始边与x轴的正半轴重叠，角的终止边处于第数象限，将该角称为第数象限的角.(2)象限边界角：如果角的终点在坐标轴上，则认为该角不属于任何象限，称为象限边界角(3)显示第一象限角的集合： |k360k360 90，kZ；第二象限角的集合： |k360 90k360 180，kZ；第三象限角的集合： |k360k360270，kZ；第四象限角的集合： |k360k360，kZ；终点在x轴正半轴上的角的集合：|=k360，kZ；终点在x轴负半轴上的角的集合：|=k360，kZ；终点落在x轴上的角的集合：|=k180，kZ；终点在y轴正半轴上的角的集合：|=k360 90，kZ；终点在y轴负半轴上的角的集合：|=k360，kZ；终点落在y轴上的角的集合：|=k180，kZ；终点落在坐标轴上的角的集合：|=k90，kz。例如，也可以将终端边位于y轴负半轴上的角的集合表示为x|x=k360-90，kZ .4 .弧度制(1)定义：以弧度为单位测量角度大小的制度称为圆弧制度(2)测定方法：长度为半径较长的圆弧对的中心角的大小称为1弧度的角。(3)表记法：弧度单位用符号“rad”表示，或者用弧度的2个文字表示。 在以弧度单位表示角的大小的情况下，通常单位省略。5 .弧度制和角度制的换算(1)换算式：(rad)=()，n=(rad )(2)特殊角弧度数角度0153045607590120135150弧度0角度180210225240270300315330360弧度26 .弧度制下的公式如图1-1-1所示，l、r、分别是弧长、半径、弧成对中心角的弧数.图1-1-1(1)弧度公式： |=；(2)弧长式： l=|r；(3)扇形面积式： S=lr=|r2知识指导学1 .课前复习初中所学角的定义、特点和范围2 .在学习过程中必须努力以单一角度制度突破思考问题的习惯，以弧度制度认识任意角度。 为了实现这个目标，可以多进行角度和弧度的互化练习，记住常用特殊角度的弧度数。突破难关1 .角和角的最终边相同的情况下，和相同吗？ 为什么可以把与角的终端相同的角的集合写为S=|= k360，kZ？分析：角的定义有静态定义和动态定义两种。 难点是受思维扎根的影响，多以角度的静态定义来思考这个问题，它会陷入迷惑。 突破这个难点的方法是用角的动态定义来分析如果、的最终边相同，则这些关系使角的最终边旋转k(kZ ) (逆时针或顺时针)而得到，因此、的数关系为=k360 (kZ )，即、的大小不同360的整数k倍.例如，和30角结束相同，但不一定等于30 .将30角的最后一边逆时针旋转1圈的角=1360 30=390； 逆时针旋转2圈即角=2360 30=750； 逆时针旋转3圈即角=3360 30=1 110； 逆时针旋转4圈即角=4360 30=1 470； 390、750、1110、1470、，都与30边形的终端边相同将30角终端顺时针旋转1圈，则角=(-1)360 30=-330； 顺时针旋转两圈即角=(-2)360 30=-690； 顺时针旋转3圈，即角=(-3)360 30=-1 050； 顺时针4转角=(-4)360 30=-1 410； 所以-330、-690、-1 050、-1 410都与30角的终端边相同。由以上可知，和30角最终边相同，但不一定是30，而是=k360 30(kZ )的关系.因此，与角终点相同的角包含角，能够构成一个集合S=|= k360，kZ，与角的终点相同的角能够表示为角与整数个周角之和.为了理解集合S=|= k360，kZ，需要注意以下几点(1)上式中角是任意的角，表示终端边有无数个相同的角，它们相差360的整数倍(2)kZ这一条件不可或缺(3)k360与之间应视为 .k360-30是k360 (-30 )，与-30角的终端相同的角(4)终边的相同角度不一定相等，但相等的角度，终边必定相同(5)与终边相同的角有无数个，相差360的整数倍。 在寻找与终点相同的角度的问题中，找到与终点相同的角度是很重要的(一般来说是寻找0360的角度)。2 .第一象限角、不足90角、090角、锐角4个角有什么不同？:受到初中学习的角度的影响，看到这四个角度，常说是一样的。 其原因是，将角扩展到了任意的角，但是解决问题时考虑的角仅仅停留在锐角、直角、钝角，即中学学过的角的范围内，在任意的角都不能考虑。 那个突破方法是把握各自取值的范围这四个角的范围分别是锐角|090、090的角| 090 、小于90的角|90、第一象限角为|k360k360 90，kZ .因此，锐角必须是第一象限角，但第一象限角是锐角3 .为什么=k360 (kZ )这种写法是错误的？分析了：多位同学这样写，但不认为是错误的，常犯错误，很难改正。 突破口是正确认识角度制和弧度制弧度制和角度制一样，是测量角度大小的方法，只是单位不同。 在同一个题目中使用弧度制后，不能使用角度制，同样，采用角度制后，也不能混合使用角度制和弧度制。 如果不像长度单位米和公里那样，写不出1米1公里的式子就容易引起混乱。 正如人的打扮全身上下调和，=k360 (kZ )，上半身穿羽绒服，脚穿凉鞋，这种服装显然不合适。 角度制