2020年普通高等学校招生全国统一考试高三（天津卷）数学（理工类）

2020年普通高等学校招生全国统一考试高三（天津卷）数学（理工类）【本讲教育信息】一. 教学内容：2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）【模拟试题】本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）球的表面积公式，球的体积公式，其中R表示球的半径。一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 是虚数单位，（ ） A. 1 B. 1 C. D. 2. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. 设函数，则是（ ）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数4. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）A. B. C. D. 5. 设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为（ ） A. 6 B. 2 C. D. 6. 设集合，ST=R，则的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 或7. 设函数的反函数为，则（ ）A. 在其定义域上是增函数且最大值为1B. 在其定义域上是减函数且最小值为0C. 在其定义域上是减函数且最大值为1D. 在其定义域上是增函数且最小值为08. 已知函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 9. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是增函数，令，则（ ） A. B. C. D. 10. 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ）A. 1344种 B. 1248种 C. 1056种 D. 960种第II卷二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。11. 的二项展开式中的系数是 （用数字作答）。12. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 。13. 已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线y=x对称，直线与圆C相交于A，B两点，且，则圆C的方程为 。14. 如图，在平行四边形ABCD中，则 。15. 已知数列中，则 。16. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为 。三. 解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知。（1）求的值；（2）求的值。18.（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为。（1）求乙投球的命中率p；（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望。19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=，PAB=60。（1）证明AD平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（3）求二面角PBDA的大小。20.（本小题满分12分）已知函数，其中（1）若曲线在点P（）处的切线方程为，求函数的解析式；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围。 21.（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（3，0），一条渐近线的方程是。（1）求双曲线C的方程；（2）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围。 22.（本小题满分14分）在数列与中，数列的前n项和满足，为与的等比中项，。（1）求的值；（2）求数列与的通项公式；（3）设，证明参考答案一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分。1. A 2. D 3. B 4. C 5. B 6. A 7. D 8. C 9. A 10. B二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。11. 40 12. 24 13. 14. 3 15. 16. 2三. 解答题：17. 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。（1）解法一：因为，所以，于是 解法二：由题设得，即又，从而，解得或因为，所以（2）解：，故，所以18. 本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。（1）解：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B。由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为（2）解：由题设和（1）知可能的取值为0，1，2，3，故的分布列为的数学期望19. 本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分12分。（1）证明：在PAD中，由题设PA=2，AD=2，PD=，可得，于是在矩形ABCD中，ADAB，又，所以平面PAB（2）解：由题设，BC/AD，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得由（1）知AD平面PAB，PB平面PAB，所以ADPB，因而BCPB，于是PBC是直角三角形，故，所以异面直线PC与AD所成的角的大小为。（3）解：过点P作PHAB于H，过点H作HEBD于E，连结PE因为AD平面PAB，PH平面PAB，所以ADPH又ADAB=A，因而PH平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影由三垂线定理可知，BDPE，从而PEH是二面角PBDA的平面角由题设可得，于是在中，所以二面角PBDA的大小为 20. 本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力，满分12分。（1）解：，由导数的几何意义得，于是由切点P（2，f（2）在直线上可得，解得所以函数的解析式为（2）解：当时，显然，这时在（，0），（0，+）内是增函数当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表：所以在，内是增函数，在，内是减函数（3）解：由（2）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立从而得，所以满足条件的b的取值范围是 21. 本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力。满分14分。（1）解：设双曲线C的方程为由题设得，解得所以双曲线C的方程为（2）解：设直线的方程为，点M（），N（）的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得此方程有两个不等实根，于是，且，整理得 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（）满足从而线段MN的垂直平分线的方程为此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，。由题设可得整理得：将上式代入式得整理得：，解得或所以k的取值范围是 22. 本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法。满分14分。（1）解：由题设有，解得。由题设又有，解得（2）解法一：由题设，及，进一步可得，猜想，先证当时，等式成立，当时用数学归纳法证明如下：（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立，即由题设， 的两边分别减去的两边，整理得，从而这就是说，当时等式也成立，根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立综上所述，等式对任何的都成立再用数学归纳法证明（1）当时，等式成立。（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立，根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立解法二：