高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1.1 指数与指数幂的运算教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）

2.1.1 指数与指数幂的运算疱丁巧解牛知识巧学升华 指数与指数幂的运算1整数指数幂（1）正整数指数幂 正整数指数幂am（a0，mN*）事实上是一种缩写，即. 根据缩写的这种意义可以得到如下的性质:（1）aman=am+n;（2）aman=am-n；（3）(am)n=amn；(4）anbn=(ab)n;(5)()n=（b0）.（2）负整数指数幂ana-n=an-n=a0=1，a-n=. 这一规定把除法与乘法统一起来了，anbm=anb-m. 由于a0与a-n（nN*）都是由数学式子中除数an产生的，根据0作除数无意义，所以规定a0与a-n的同时，必须有an0即a0，这样的规定才与已往有的除法运算相一致.就这样，正整数指数幂推广到了整数指数幂. 要点提示 整数指数幂的底数应使等号两边都有意义.正整数指数幂的底数是aR；零指数和负整数指数幂的底数aR且a0.指数可以是任意整数.2根式（1）平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根（或二次方根），其中a叫做被开方数，次数2叫做根指数，x叫做a的平方根. 当a0时，它有两个互为相反数的平方根，记作：，-；当a=0时，=0；当a0时，在实数范围内没有平方根.例如：x2=9，则x=3是9的平方根，若x2=-40，则在实数范围内-4没有平方根. 或者平方根可由二次函数y=x2的图象与性质去理解. 要点提示 平方根存在与否以及平方根的个数仅仅与被开方数有关.（2）立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根（或三次方根）.它的被开方数、根指数、根分别是a、3、x.在实数范围内，对任意aR，它都有唯一的立方根，其中叫做根式.（3）n次方根：如果存在实数x，使得xn=a（aR，n1，nN），则x叫做a的n次方根. 如果n是偶数，它同平方根一样，当a0时，它有两个n次方根，即；当a=0时，=0；当a0时，在实数范围内无偶次方根.如果n是奇数，它同立方根一样，对任意aR，它都有唯一的n次方根. 要点提示 (1)只有当有意义时，才能称为根式.n次方根是平方根和立方根的推广.根指数是大于1的整数.(2）无论根指数是大于1的偶数还是奇数，当被开方数是0时，它的n次方根是0.3方根性质（1）n次方根的性质x=(kN*,n1,nN) 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数. 由n次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质（2）根式的运算性质=a（n1，nN） 理解这一性质的关键是紧扣n次方根的定义，如果xn=a(n1,且nN)有意义，则无论n是奇数或偶数，x=一定是它的一个n次方根，所以=a恒成立.例如：=3，=-5. 记忆要诀 先开方，再乘方（同次），结果为被开方数. 当n为奇数时，aR，由n次方根的定义可得=a恒成立， 当n为偶数时，aR，an0，表示正的n次方根或0，所以如果a0，那么=a.例如=3，=0；如果a0，那么=|a|=-a，如=3.从而归纳得到以下根式的性质： 利用根式的运算性质对根式的化简的过程中，根指数n为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n为偶数的运算. 记忆要诀 先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数；先偶次乘方，再开方（同次），结果为被开方数的绝对值.4.分数指数幂（1）根式与分数指数幂的转化 为了使同底数幂的运算变成指数的简单运算，有必要对分数指数幂规定为：（a0，n、mN*，n2），（a0，n、mN*，n2） 分数指数幂是根式的另一种写法，这种写法更便于指数运算.同0指数幂、负整数指数幂一样，负分数指数幂中，0，即a0.指数的概念在引入了0指数、负整数指数、分数指数以后，指数的概念就实现了由整数到有理数的扩充，扩充后同底数的有理次幂的乘法、除法、开方都可以化为指数的运算，为化简根式带来了很大的方便. 要点提示 （1）有理数=分数=Q.（2）零的正分数次幂为零，零的负分数次幂无意义.（3）对分数指数幂和根式的互化，要紧扣方根的定义.（2）分数指数幂的运算法则 设a0，b0，、Q，则aa=a+；（a）=a；（ab）=ab. 分数指数幂的运算法则同整数指数幂一样，a是一个确定的实数. 根式化成分数指数幂的形式，若对约分，有时会改变a的范围.例如：.所以考虑清楚a的范围后再化简. 要点提示 化简代数式的关键是把问题化归成我们熟悉的、已知其运算法则的分数指数幂的形式，利用其法则去计算；对于代数式的化简结果，可用根式或分数指数幂中的一种形式，但不能同时出现根式和分数指数幂的形式，也不能既有分母，又有负指数. 5.无理指数幂 无理指数幂教材中没有给出严格的定义，可阅读教材61页，通过计算器计算，体会“有理数逼近无理数”的思想，感受一下它的逼近程度. 一般地，当a0，为无理数时，a也是一个确定的实数.整数指数幂的运算法则就推广到了实数范围内，也就是说，设a0，b0，、R，则（1）aa=a+；（2）（a）=a；（3）（ab）=ab.恒成立. 问题思路探究问题 为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？思路：根据方根的定义，考虑偶次方与偶次方根的联系探究:根据方根定义，若x是a(a0)的n次方根（n为偶数），则xn=a，这时（-x）n=a，即-x也是a(a0)的n次方根假设x是a(a0)的n次方根（n为偶数）,则xn=a因为xn0，a0，所以.（2）解法一：=（x-1+x-1）= 解法二：=x3+x-3+2 而x3+x-3=(x+x-1)(x2-1+x-2)=(x+x-1)(x+x-1)2-3=3(32-3)=18=20. 又由x+x-1=3,得x0,. 误区警示 (1)题注重了已知条件与所求问题之间的内在联系,但开方时正负的取舍容易被学生忽视,应强调以引起学生注意. 拓展延伸 (2)题解法一注意了(1)题结论的应用,显得颇为简捷,解法二注重的是与已知条件的联系,体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用,而且具有一定的层次,需看透问题实质方可解决得彻底,否则可能半途而