高一数学判定方程解的存在性、二分法求方程的近似解教案

一. 教学内容：判定方程解的存在性、二分法求方程的近似解【本讲的主要内容】利用函数性质判定方程解的存在性、利用二分法求方程的近似解 二、学习目标1、进一步认识函数与方程的关系，求方程f（x）=0的实数解就是求函数y=f（x）的零点，体会函数知识的核心作用；2、能够利用函数的性质判定方程解的存在性；3、能够利用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义；4、在近似计算的学习中感受近似的思想、逼近的思想和算法的思想等数学思想的含义和作用。三、知识要点1、函数的零点：我们把函数y=f（x）的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。注意：函数的零点是一个实数，而不是一个点；由定义可知，函数y=f（x）的零点其实就是方程f（x）=0的解；所以解方程的问题就可以化归为求函数的零点的问题。2、连续曲线：在本讲中涉及的“连续曲线”为不加定义的概念，即同学们可以根据自己的知识基础和生活经验，结合具体的函数图像对其是否连续作出判断，如反比例函数在1，2上的图像就是连续的。我们所说的“连续曲线”均指闭区间a，b上的。3、存在性命题的证明：一般有两种思路，即构造法和非构造法。构造法是按照题意构造出符合条件的数学对象，既已构造，必然存在；非构造法是从逻辑上证明符合条件的数学对象必然存在，但没有构造出实际对象。本讲中涉及的判断方程解的存在性采用的就是非构造法。4、利用函数性质判定方程解的存在性：闭区间a，b上的连续函数f（x）满足条件f（a）f（b）0，则方程f（x）=0在a，b上一定存在实数解。但是对于实数解的个数，则难以判定。而且函数在a，b上存在实数解并不表明函数在a，b上就是连续的，也不一定满足条件f（a）f（b）0。5、通过设计以下活动，了解二分法处理问题的基本思想：活动任务：提问不超过三次，确定一个学生的年龄；活动规则：对于提问，被问者只需答“是”或“否”。合理假设：高一学生年龄在1420岁（含）之间。提问及回答过程模拟图示如下：思考：为什么第一次提问时选择了17岁？这样做有什么好处？6、利用二分法求方程f（x）=0的近似解：第一步：选取初始区间a，b，使得f（a）f（b）0；第二步，令，判断f（m）是否为零，是则m为所求的解；否则从f（a），f（b）中选出与f（m）的符号相异的一个，与m组成一个新的区间（a，m或m，b）；如此循环；循环终止的条件是最后所取区间的“长度”小于或等于精确度，此时按照精确度的要求，这个区间内的所有值的近似值都是相等的。如果不相等，即使区间的“长度”小于或等于精确度也不能终止。说明：1）在这个过程中，可能因为计算量大，要同学们反复使用计算器；同时由于数据较多，极易出错，所以一定要十分细心和耐心；2） 这个过程可以用一个框图或流程图来表示，但不必是严格规范的格式，我们只要能将这个过程和这种处理问题的思想表达出来即可；严格规范的格式到算法章节再专门研究；3） 高于四次的方程一般都不能用公式法求解，所以数学家们一直在研究方程近似解的求法。早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家们就提出了高次方程数值解的解法，当时用算筹可以解出高达十次的方程；4） 在求方程近似解的过程中蕴含着三种数学思想，请同学们注意在解题的过程中进行感受：一是近似的思想，二是逼近的思想，三是算法的思想，在这里从理论上说，可以求得任意精度下的解，所以尽管是近似的，但能确保是“无限逼近的”和“够用的”；这里的算法确保了这是一种有序的逼近。但同时同学们也要清楚，二分法并不是求方程近似解的唯一方法。【典型例题】考点一：利用函数性质判定方程解的存在或研究函数零点的分布这类问题常有两种情形：I、未指定区间：需采取尝试法确定区间；II、指定区间：直接代入判断。两种情形下判断的依据都是区间端点的函数值异号。例1、利用函数性质判断方程解的存在。分析：利用函数性质解题的前提是构造函数，本题可根据题目特征，构造函数，这是一个二次函数，其图像是抛物线，这样就把方程解的存在性问题转化为函数的零点的存在性问题。请同学们通过这样一个简单的例子，掌握此类题型的解题思路。实际上，本题可利用因式分解法或求根公式法求出方程的解。解：考察函数，其图像是一条抛物线，如图：容易看出，f（0）0，f（10）0。由于函数的图像是一条连续的曲线，因此，（5，0）之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在（5，0）之间至少有一点x1，使得f（x1）=0；同样，在（0，10）之间也至少有一点x2，使得f（x2）=0。而方程至多有两个解，所以在（5，0）、（0，10）内，方程各有一个解。方法小结：利用函数性质判断方程解的存在性的基本步骤：1、构造函数y=f（x），并判断函数图像是连续的曲线；2、利用尝试法，选取区间a，b，使得f（a）f（b）0并不能说明函数在区间1，3上就不存在零点。解：由此可知：函数在1，3上至少存在一个零点。例3、设三正数满足不等式，求证：方程有两正根，且一根大于1，另一根小于1。解：考点二：根据方程根的分布或零点的分布情况求解相关问题这是考试中的一个热点和难点题型，一般可数形结合，充分利用函数图像的几何特征，往往可使解答简捷直观。例4、已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围。解法一：设函数的两个零点分别为，则，由韦达定理得：解法二：函数的大致图像如图：由图可知：说明：结合图像处理此类问题显得直观而简单。例5、若二次函数在区间1，1内至少存在一点c，使得，求实数p的范围。解法一：函数图像开口向上，故只需或，解得解法二：假设在1，1上不存在这样的点c，则有且，解得故符合条件的范围应是考点三 利用二分法求方程的一个近似解这种题型一般要求借助计算器、结合函数图像，要让学生初步了解算法的思想即程序化地处理问题的思想，以及无限逼近的思想和近似的思想。要注意求解程序的终止条件。例6、用二分法求方程的误差小于0.005 的近似解。分析：第一步：确定初始区间第二步：令，判断是否为零；是则m为所求的解；否则继续判断是大于零还是小于零；第三步：若，则令，否则，令；第四步：判断是否成立，若是，则之间的任意取值均为满足条件的近似解；若否，继续回到第二步。以上过程可用框图表示。说明：框图只为帮助同学们理解题意，暂不要求大家严格掌握框图的绘制。解：设，在区间2，2.5上是连续不断的曲线。由于，取，则，故取，故取，故取，故取，故取，故取，此时尽管2.34765625-2.34375=0.003906250.005，但区间两端点的近似值不一致，所以还须进一步求解,以确认解所在区间：取，故解所在区间为2.345703125,2.34765625，近似解为2.345。上述解答过程可列表如下,可使得解答过程更加清晰：编号左端点af(a)正负右端点bf(b)正负区间长度12-2.5+0.522.25-2.5+0.2532.25-2.375+0.12542.3125-2.375+0.062552.34375-2.375+0.0312562.34375-2.359375+0.01562572.34375-2.3515625+0.007812582.34375-2.34765625+0.00592.345703125-2.34765625+0.005方程解的近似值2.345说明：从上表可以清楚地看到,解所在的区间每次缩小一半,从而使区间的两个端点逐步逼近方程的解。但从第八步开始,区间的长度已经符合精确度的要求,为什么还要进行到第九步呢?主要是因为按照精确度的要求,左右端点的近似值不同,无法精确到0.005,故直到第九步才使得左右端点的值精确到0.005后两者相等。例7、用二分法求函数的一个零点的近似值（精确到0.01）。解：编号左端点af（a）正负右端点bf（b）正负区间长度101+1200.5+0.530.250.5+0.2540.250.375+0.12550.31250.375+0.062560.31250.34375+0.0312570.31250.328125+0.01562580.32031250.328125+0.00781250.0190.32031250.32421875+0.003906250.01函数零点近似值0.32说明：同上例，到第八步后尽管区间长度已经符合精确度要求，但左右端点的近似值不等，无法确定零点的近似值到底是多少，到第九步就解决了这个问题。本讲涉及的主要数学思想方法1、近似的思想：本讲重点探讨了如何求方程的近似解和函数的零点的近似值，其中涉及的近似的思想是一种重要的数学思想，13世纪前后，中国数学家对高次方程数值解的近似计算作出了杰出的贡献。同时，同学们也要明白近似的思想有着重要的实用价值，在解决实际问题时，很多时候只要“够用”就行。2、逼近的思想：为求得需要的解，我们采用了二分法，以每次缩小一半的方式逐步逼近，经过有限个步骤后就可以求出符合精确度要求的值。但在理论上，我们可以无限计算下去，从而无限逼近解的值，使得误差任意小。这也为今后研究极限提供了思想方法上的铺垫。3、算法的思想：算法的思想实际上就是程序化地处理问题的思想，一个算法不仅可以解决一个问题，而是解决一类问题。所以，在这里我们要通过二分法的学习，初步感受算法的思想，为今后进一步学习算法打下一定的基础。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、下列函数在指定范围内存在零点的是（ ）A、y=x2x1，x（，0）B、y=|x1|，x（1，1）C、y=x5+x3，x1，2D、y=x31，x（2，3）2、下列函数图像中，不宜用二分法求函数零点的是（