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2020届高考数学压轴题跟踪训练21.(本小题满分14分)已知函数.(1) 试证函数的图象关于点对称;(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和(3) 设数列满足: , . 设.若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.由 得所以, 点P的坐标为P.(2分)由点在函数的图象上, 得. 点P在函数的图象上.函数的图象关于点对称. (4分)(2)由(1)可知, , 所以,即(6分)由, 得 由, 得(8分)(3) , 对任意的. 由、, 得即.(10分)数列是单调递增数列.关于n递增. 当, 且时, .(12分)即 m的最大值为6. (14分)2(2020年献县一中二模)(12分)、是椭圆的左、右焦点,是椭圆的右准线,点,过点的直线交椭圆于、两点.(1) 当时,求的面积;(2) 当时,求的大小;(3) 求的最大值.解:(1)(2)因,则(1) 设 ,当时,3(14分)已知数列中,当时,其前项和满足,(2) 求的表达式及的值;(3) 求数列的通项公式;(4) 设,求证:当且时,.解:(1)所以是等差数列.则.(2)当时,综上,.(3)令,当时,有 (1)法1:等价于求证.当时,令,则在递增.又,所以即.法(2) (2) (3)因,所以由(1)(3)(4)知.法3:令,则所以因则,所以 (5)由(1)(2)(5)知4 (本小题满分14分)第21题设双曲线=1( a 0, b 0 )的右顶点为A,P是双曲线上异于顶点的一个动点,从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(1) 证明:无论P点在什么位置,总有|2 = | ( O为坐标原点);(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围;解:(1) 设OP:y = k x, 又条件可设AR: y = (x a ), 解得:= (,), 同理可得= (,), | =|+| =. 4分 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:m2 =, n2 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,点P在双曲线上,b2 a2k2 0 . 无论P点在什么位置,总
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