高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 两角和与差的三角函数 3.2.3 两角和与差的正切函数备课素材 北师大版必修4（通用）

3.2.3 两角和与差的正切函数备课资料备用习题1.已知A、B、C是斜ABC的三个内角,求证:(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;(2)tantan+tantan+tantan=1.2.设关于x的一元二次方程mx2+(2m-1)x+(m+1)=0的两个实根为tan与tan,求tan(+)的取值范围.3.求tan70+tan50-tan50tan70的值.4.已知sin=msin(2+),求证:tan(+)=tan.5.化简-2cos(A+B).6.已知5sin=sin(2+).求证:2tan(+)=3tan.参考答案:1.解:(1)A、B、C是斜ABC的内角,A+B+C=,即A+B=-C.由题意可知,A、B、C都不为,因此有tan(A+B)=tan(-C)=-tanC.=-tanC,去分母,移项,整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.(2)+=,+=-.tan(+)=tan(-).去分母,移项,整理可得tantan+tantan+tantan=1.2.解:由题设可知m0,且=(2m-1)2-4m(m+1)0.由解得m(-,0)(0,.根据韦达定理可得则tan(+)=2m-1.m(-,0)(0,2m-12-1=-,且2m-1-1.tan(+)的取值范围为(-,-1)(-1,-.3.解:原式=tan(70+50)(1-tan70tan50)-tan50tan70=-(1-tan70tan50)-tan50tan70=-+3tan70tan50-tan50tan70=-.原式的值为-.4.证明:由sin=sin(2+)sin(+)-=sin(+)+sin(+)cos-cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin(1-)sin(+)cos=(1+)cos(+)sintan(+)=tan.点评:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2+可化为结论式中的+与的和,不妨将+作为一整体来处理.此方法是综合法,利用综合法证明恒等式时,必须有分析的基础,才能顺利完成证明.5.解:原式=点评:本题中三角函数均为弦函数,所以变形的问题只涉及角.一般来说,三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点.6.解:=(+)-,2+=(+)+,5sin(+)-=sin(+)+,即5sin(+)cos-5cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin.2sin(+)cos=3cos(+)sin.2tan(+)=3tan.点评:注意到条件式的角是和2+,求证式中的角是+和,显然“不要”的角和2+应由要保留下来的角+与来替代.三角条件等式的证明,一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此,看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了,哪些角变化了,结论中是哪些角,条件中有没有这些角,在审题中必须对此认真