云南省昆明一中2020届高三数学期中考试（文）

昆明一中2020届高三期中考试数学试题（文）考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1定义映射：，若集合中元素在对应法则作用下的象为，则中元素9的象是（ ）A3 B2C2D32函数是减函数的区间为（ ）A B C D3若直线与直线垂直，则（ ）A2B1 C1 D24设，集合，。若，则的取值范围是（ ）A B C D5下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A B C D6已知ab，则下列不等式中正确的是（ ）A B CD7已知是公比为的等比数列，且成等差数列则（ ）A B C1或 D18设分别是角所对的边，且满足则的面积为（ ）A B C D9二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是（ ）A B C D10设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A若与所成的角相等，则 B若，则C若，则 D若，则11已知是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是，且的图象过两点，若，则x的取值范围是（ ）A B C D12从1，2，3，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案直接填在题中横线上13抛物线的焦点坐标是 14若的展开式中的系数是，则实数a的值是15某调查机构观察了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图如左，则新生婴儿的体重在（kg）的有人。16若球的表面积为，边长为2的正三角形的三个顶点在球的表面上，则球心到平面的距离为 。三、解答题：本大题共6小题,共70分17（本小题满分10分）设函数f（x）=pq,其中向量p=（sinx,cosx+sinx）,q=（2cosx,cosxsinx）, xR （）求函数f（x）的最大值； （）求函数f（x）的单调递增区间18（本小题满分12分）如图，等边与直角梯形ABDE所在平面垂直，AEAB，O为AB的中点 （）证明：； （）求二面角的大小19（本小题满分12分）已知甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球所有球大小都相同，现从甲袋中任取2个球，乙袋中任取2个球 （）求取到的4个球全是白球的概率； （）求取到的4个球中红球个数不少于白球个数的概率20（本小题满分12分）在等差数列中，公差，且成等比数列 （）求数列的通项公式； （）若数列 满足，其前项和为，求证：21（本小题满分12分）已知双曲线=1（b0）的两条准线间的距离为1 （）求双曲线的方程； （）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值22（本小题满分12分）已知函数 （）若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式； （）当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程参考答案注意：本评分标准仅供参考，其他正确解答请参照评分标准酌情给分一、选择题：题号123456789101112答案CDABADCDADBC二、填空题： 13、； 14、2 15、； 16、 三、解答题：本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程17解：（）p = （sinx,cosx+sinx），q=（2cosx,cosxsinx）,= pq= =函数f（x）的最大值为5分（）由22x+2+ （kZ） 得x+（kZ），函数f（x）的单调递增区间为,+ （kZ）10分18方法一：（）证明：因为等边三角形，且O为AB中点 又平面ABDE平面ABCCO平面ABDE DE平面ABDECODE 5分（）解：过O作于，连接，则由三垂线定理得所求二面角的平面角为在正三角形中可求得，在直角梯形中可求得， 所以所求二面角的大小为 12分方法二：以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则， （）证明：， ，（）解：显然，面的一个法向量，设面的一个法向量为，则由得， 由得，解得， 所以所求二面角的大小为19解：（）设取到的4个球全是白球的概率，则6分（）设取到的4个球中红球个数不少于白球个数的概率，则12分20解：（）数列的公差为，则，成等比数列，得（舍去）或。7分 （）由（）知，12分21解：（）依题意有： 解得b2=3所以双曲线方程为x2 6分（）解：设M（x0,y0）,由双曲线的对称性,可得N（x0,y0）设P（xP,yP）,则又 所以 同理所以 12分22解： （）由, 函数在时有极值 , 又 在处的切线与直线平行, 故 7分（） 解法一: 由及在取得极大值且在取得极小值, 即 令,则 故点所在平面区域S为如图ABC,易得, , , , 同时DE为ABC的中位线, 所求一条直线L的方程为: 另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 , 由 得点F的横坐标为: 由 得点G的横坐标为: 即 解得: 或 （舍去） 故这时直线方程为: 综上,所求直线方程为: 或 12分（） 解法二: 由及在取得极大值且在取得极小值,