安徽省芜湖市2020届高三数学5月模拟考试试题 理（含解析）

芜湖市2020学年度第二学期高三模拟考试数学（理科）试题第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合B，再利用交集定义和并集定义能求出结果【详解】由得x0，所以Bx|x0所以ABx|0x0，故B不正确；又an是等差数列，0a1a2，2a2a1+a32，a2，即C正确；若a10，则（a2a1）（a2a3）d20，即D不正确故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，考查分析问题的能力，比较基础5.直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】试题分析：抛物线的焦点为，直线与抛物线的交点为，因此考点：积分的几何意义6.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得恒成立，可解得a的范围【详解】当时，f（x），单调递减，f（x）的最小值为f(2)=1，当x2时，f（x）单调递增，若满足题意，只需恒成立，即恒成立，a0，故选：D【点睛】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，考查了指对函数的单调性，属于中档题7.已知，且，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意ab0，a+b1，可得1ab0，利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小【详解】ab0，a+b1，1ab0，1，x（）b（）0 =1，ylog（ab）（） log（ab）=1，zlogb1xzy故选：D【点睛】本题考查了对数函数的单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.如图，网格纸上小正方形的为长为1，粗实线面出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A. 6B. 9C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出几何体直观图，利用三视图的数据求解即可【详解】由三视图可知该几何体的各个面分别为，两个梯形PQCD和PQBA，一个矩形ABCD，两个三角形PDA和三角形QCB，所以两个梯形的面积相等，和为故选：A【点睛】本题考查三视图与直观图的关系，解题的关键是几何体的直观图的形状，考查空间想象能力以及计算能力9.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术；蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息，现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，求出圆的面积，根据概率公式计算即可【详解】如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故BEO2EO2Or，BO2r，BO2+O2OBOBD，r+r，r，黑色部分面积S（）2，正方形的面积为1，在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为，故选：B【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，确定面积为测度是关键10.已知函数，其中，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（ ）A. 11B. 13C. 15D. 17【答案】C【解析】【分析】先根据x为yf（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，判断为正奇数，再结合f（x）在区间上单调，求得的范围，对选项检验即可【详解】由题意知函数 为yf（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，nZ，2n+1f（x）在区间上有最小值无最大值，周期T（），即，16要求的最大值，结合选项，先检验15，当15时，由题意可得15+k，函数为yf（x）sin（15x），在区间上，15x（，），此时f（x）在时取得最小值，=15满足题意则的最大值为15，故选：C【点睛】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，考查了分析转化的能力，难度较大11.在直角坐标平面内，已知，以及动点是的三个顶点，且，则动点的轨迹曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将sinAsinB-2cosC=0，化简得tanAtanB=2，即，设C（x，y），依题意得，由A（2，0），B（2，0），得，由此能求出动点C的轨迹方程，进而求得离心率【详解】sinAsinB-2cosC=0，sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，sinAsinB=2cosAcosB，即tanAtanB=2，设C（x，y），又A（2，0），B（2，0），所以有，整理得，离心率是故选A【点睛】本题考查了三角函数的化简，考查了点的轨迹方程的求法及椭圆的离心率，属于中档题.12.已知函数，若有4个零点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x0时，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y的图象，即可得出结论【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当时，由题意可得，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，令h(x)=,则h（x）=，则x=，且在（0，）单增，在（）上单减，y的大致图像如图：又h()=若y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，则，故选B.【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在二项式的展开式中，常数项的数值为_.【答案】60【解析】【分析】通过二项式展开式的通项，令的指数等于零，求得的值，从而求得常数项.【详解】当，即时，常数项为,故填【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式.需要将二项展开式公式化简后，再来求指定项的值.属于基础题.14.若，满足约束条件则的最大值为_.【答案】5【解析】分析】首先画出平面区域，利用z的几何意义求最大值【详解】x，y满足平面区域如图：z=x+y代表直线y=-x+z，其中z为直线的截距，当直线yx+z经过A（3，2）时，z最大，所以z的最大值为5；故答案为5【点睛】本题考查了简单线性规划问题，正确画出平面区域及利用目标函数的几何意义求最值是关键15.已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若，则使不等式成立的的最小值是_.【答案】11【解析】【分析】由可得数列an是等比数列，利用等比数列求和公式计算，解不等式即可.【详解】由可得，则（）（）=0，又数列的各项均为正数，即，可得数列an是首项为公比为q2的等比数列，,则n10，又，n的最小值是11，故答案为11.【点睛】本题考查了数列递推关系的应用，考查了等比数列的判断及求和公式，考查了指数不等式的解法，属于中档题16.已知正三棱柱的底面边长为，为的中点，平面与平面所成的锐二面角的正切值是，则四棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】延长C1D与CB的延长线交于点M，连接AM推导出D也是C1M的中点，AMDE，AM平面ACC1A1，可得；再根据四棱锥A-BC外接球即为正三棱柱ABC-的外接球，找到球心位置，根据勾股数求得半径，即可得到表面积【详解】如图，延长C1D与CB的延长线交于点M，连接AMB1C1BC，D为BB1的中点，D也是C1M的中点，又取E是AC1的中点，AMDEDE平面ABB1A1，AM平面ACC1A1C1AC为平面AC1D与平面ABC所成二面角的平面角tanC1AC，又AC，则 又四棱锥A-BC外接球即为正三棱柱的外接球，其球心在底面ABC中心正上方的处，又底面外接圆的半径为2r=，四棱锥外接球的表面积为，故答案为19.【点睛】本题考查球的组合体问题，考查了线面垂直的证明，考查四棱锥外接球半径的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知中，内角，所对的边分别为，若.（1）求；（2）若，面积为2，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简已知sin（A+C）=4，平方得到关于cosB的方程，解之即可.（2）由三角形面积公式可得ac，再由余弦定理解得a+c.【详解】（1）由题设及，得，故.上式两边平方，整理得，解得（含去），.（2）由，得，又，则.由余弦定理， .所以.【点睛】本题考查了三角形面积公式及余弦定理的运用，考查了二倍角公式的应用，属于基础题18.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发国家学生体质健康标准（2020年修订），要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的标准测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分），并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.求；已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间的人数为，试求.附：参考数据，若随机变量服从正态分布，则，.【答案】（1）75，135；（2）；.【解析】【分析】（1）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均数，根据方差公式计算；（2）利用正态分布的性质求得；根据二项分布的期望公式得出【详解】（1）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：分值区间频数51540754520，.（2）由（1）知服从正态分布，且，.依题意，服从二项分布，即，则.【点睛】本题考查了正态分布的性质与应用，考查了二项分布的期望公式，考查了频率平均数与方差的运算，属于中档题19.如图，已知圆柱，底面半径为1，高为2，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其路径最短时在侧面留下的曲线记为：将轴截面绕着轴，逆时针旋转角到位置，边与曲线相交于点.（1）当时，求证：直线平面；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）法一：建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面的法向量，可得结论；法二：由已知条件推导出ABA1B1，ABOO1，得到AB平面A1B1C1D1，可得ABB1D1，结合OPB1D1由此能证明直线B1D1平面PAB（2）以所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，分别求得两个面的法向量，利用向量法能求出二面角DABP的余弦值【详解】（1）方法一：当时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，.设平面的法向量为，则，可取，得，.所以直线平面.方法二：在正方形中，平面，又平面所以，又，平面所以直线平面. （2）当时，以所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，所在的直线为轴建立如图空间直角坐标系，可得，所以，设平面的法向量为，则，可取，得，又平面的一个法向量为，则所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查了利用空间向量解决线面关系及空间角度问题，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题.20.如图，已知椭圆的长轴，长为4，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线交椭圆于、两点，直线，的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线，直线，分别与相交于、两点，设为线段的中点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由长轴长为4可得a，设出点B，C坐标，利用斜率之积为，可得，即可得到b2，可得椭圆方程；（2）设直线BC的方程为：yk（x1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线的方程为：y（x+2）与x=4联立，可得点M，N的坐标，可得线段MN的中点E利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得，只要证明1即可【详解】（1）设，因点在椭圆上，所以，故.又，所以，即，又，所以故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为：， 联立方程组，消去并整理得，则，.直线方程为，令得，同理，；所以，代入化简得，即点，又，所以，所以.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题21.已知函数.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）令f（x）0在R上恒成立，令，研究单调性求得g（x）的最小值，令其小于等于，即可得出k的范围；（2）由（1）知当时，在R上单调递减，可得x0时，则，从而，化简后令，构造新函数可证得结论.【详解】（1）因在上单调递减，所以恒成立.令，则因，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即.（2）由（1）知当时，在R上单调递减，当x0时，则，即，又时，则，即，从而，即，也即令，则，即时，.【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，考查了利用函数单调性解决不等式的证明问题，运用了构造函数的技巧，属于较难题请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修