直线与平面垂直的判定

复习回顾：,空间直线和平面有几种位置关系？,大桥的桥柱与水面垂直,生活中有很多直线与平面垂直的实例,实例引入,大漠孤烟直,内过点B的直线,AB所在直线,内不过点B的直线,AB所在直线,内任意一条直线,AB所在直线,一、直线和平面垂直的定义,如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.,平面的垂线,直线的垂面,垂足,直线和平面垂直的画法:,通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。,深入理解“线面垂直定义”,判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直.（）2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直.（）,利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.,探索新知：,但是，直接考察直线与平面内所有直线都垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!,探索新知：,做一做想一想,1.折痕AD与桌面垂直吗？2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？,请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）,当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直,2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？,探索新知：,探索新知：,由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的判定需要哪几个条件？,你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂直判定定理吗,(1)平面有两条直线(2)这两条直线要相交(3)平面外的直线要与这两条直线都垂直,二、直线与平面垂直的判定定理：,线线垂直线面垂直,一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,一相交两垂直,判断下列命题是否正确？(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直()(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直(),例1.在下图的长方体中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？,例2、在正方体AC1中，求证：,(2)D1B平面ACB1,(1)AC平面D1DB,例2、在正方体AC1中，求证：,(2)D1B平面ACB1,由异成直线所成的角知,D1B平面ACB1,例3、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。（1）求证：AC平面VKB（2）求证：VBAC,(1)连接VK,KB，由VA=VC,K为AC中点，由三线合一可知VKAC,同理可得KBAC，且VKKB=K所以AC平面VKB(判定定理),(2)由(1)可知，AC平面VKB又因为VB平面VKB所以VBAC(定义),变式：,1、在例3中若E、F分别为AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系,例3、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。（1）求证：AC平面VKB（2）求证：VBAC,2、在1的条件下，有人说“VBAC，VBEF，VB平面ABC”，对吗？,直线与平面垂直的性质,如图,点Q是是点P到平面的垂线段,过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；,这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。,一.斜线在平面内的射影,.垂线、斜线、射影,()垂线,点P在平面内的射影,线段PQ,（2）斜线,一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足。,从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段,P,R,如图：是斜线AC在内的射影，线段BC是,A,C,B,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影,()射影,直线BC,斜线段AC在内的射影,A,C,B,F,E,说明：斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。,思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？,思考：从平面外一点向这个平面引的垂线段和斜线段，它们的射影和线段本身之间有什么关系？从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE中，那一条最短？,A,C,B,D,E,垂线段比任何一条斜线段都短,如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。,3.直线与平面垂直的性质定理,例2、如图，已知AC、AB分别是平面的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，a，aBC。,求证：aAB,线面垂直,线线垂直,三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的,射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.,三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线与这个平面的一条,斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.,求证:aBC,外,中,垂,巩固练习：,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O,OA=OB=OC,O为三角形ABC的外心,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O为三角形ABC的垂心,D,O,已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O为三角形ABC的内心,O,E,F,典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O,(1)P到三顶点距离相等,(3)P到三边AB、BC、AC距离相等,(2)侧棱两两垂直,外,垂,内,例：四面体P-ABC中，,若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直,O是垂心,练习3.如果两直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行,练习2.过一点只有一个平面和一条直线垂直,练习1.过一点只有一条直线和一个平面垂直,结论1.,结论2.,结论3.,常用结论发散,结论1：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。,结论2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。,结论3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。,直线和平面垂直的判定,例求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。,已知：，。,求证：。,证明：方法1设是内的任意一条直线。,小试牛刀,线面垂直的性质定理：,符号语言：,图形语言：,垂直于同一平面的两直线互相平行.,例2.如图，已知ab、a.求证：b.,（线面垂直线线垂直）,（线线垂直线面垂直）,例2、如图，已知ab，a。求证：b。,例题示范,巩固新知,分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。,a,b,阅读P66页的证明过程.,、判断下列命题的正误。,（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（）,（3）平行于同一平面的两条直线互相平行（）,（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（）,（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（）,五、过程设计,(三)线面垂直性质定理的应用,小牛试刀,(1)若PA=PB=PC，则O是ABC的.,P,A,B,C,O,外心,例4.关于三角形的四心问题,设O为三棱锥PABC的顶点P在底面上的射影.,综合练习：,(2)若PA=PB=PC,C=900,则O是AB的_点.,中,P,A,B,C,O,例4.关于三角形的四心问题,综合练习：,垂心,E,F,P,A,B,C,O,(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是ABC的.,例4.关于三角形的四心问题,综合练习：,E,F,P,A,B,C,O,(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是ABC的_.,外心,例4.关于三角形的四心问题,综合练习：,例1、已知直角ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，求证：PD平面ABC.,证明：PA=PB，D为AB中点PDAB，连接CD，D为RtABC斜边的中点CD=AD,又PAPC,PD=PDPADPCD而PDABPDCD,CDAB=DPD平面ABC,例2、如图平面、相交于PQ，线段OA、OB分别垂直平面、，求证：PQAB,证明：OAPQOAPQOB,PQOBPQ又OAOB=0PQ平面OAB而AB平面OABPQAB,S,A,B,C,H,S,A,B,C,H,1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC求证：AC平面BDM,M,A,B,C,D,O,A,B,C,D,证明：,2.在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线ACBD。,3.如图，圆O所在一平面为，AB是圆O的直径，C在圆周上,且PAAC,PAAB,求证：（1）PABC（2）BC平面PAC,典例平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PAPBPC，若点O是ABC的外心，求证：PO平面ABC.,【解】如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.因为PAPBPC，所以PDAB，PEBC，,因为O是ABC的外心，所以ODAB，OEBC，又因为PDDOD，OEPEE，所以AB平面PDO，BC平面PEO，于是有ABPO，BCPO，ABBCB，从而推得PO平面ABC.,中,外,垂,重心:三条中线的交点垂心:三条高的交点外心:三条垂直平分线的交点(到三个顶点的距离相等)内心:三角平分线的交点中心:正的重心、垂心、内心、外心重合的点,巩固练习,V,A,B,C,直线与平面垂直的判定与性质,解题分析:,解题小结:,2020/5/26,例1：如图，已知AC、AB分别是平面的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，a，aBC求证：aAB,A,C,B,a,射影垂直，斜线垂直,2020/5/26,例2：如图，BAC在平面内，P为平面外一点，PABPAC求证：点P在平面上的射影在BAC的平分线上,A,C,B,P,O,E,F,例1如图,在RtABC中,已知C=90,AC=BC=1,PA面ABC,且PA=,求(1)PB与面ABC所成的角(2)PB与面PAC所成的角.,巩固练习,1.平行四边形ABCD所在平面a外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD.,2020/5/26,例2：如图，在棱长为1的正方体中(1)求B1D与平面ABCD所成的角的正切；,O,(2)求A1C1与平面ABC1D1所成的角；,(3)求BB1与平面A1BC1所成的角的正切,M,H,2020/5/26,例5：ABC的定点在平面内，点A、C在平面的同侧，AB、BC与所成角分别是300和450若AB3，BC42，AC5，求AC与平面所成的角,A,B,C,2020/5/26,例6：如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，AEPD，PA3AB求直线AC与平面ABE所成角的正弦值,P,A,B,C,D,E,【5】如图,AB为平面的一条斜线,B为斜足,AO平面,垂足为O,直线BC在平面内,已知ABC=60,OBC=45,则斜线AB和平面所成的角是_.,A,C,O,D,B,45,设OB=2,补充练习,引课,我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?,直线与平面所成的角,1.平面的斜线,如图,若一条直线PA和一个平面相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。,P,A,斜足,斜线,例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直线A1B和平面BCC1B1所成的角。（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。,O,例题示范,巩固新知,分析:找出直线A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。,阅读教科书P67上的解答过程,HC与平面ABCD所成的角是？,BG和EA与平面ABCD所成的角分别是？,GBC与EAB,HCD,EC和EG与平面ABCD所成的角分别是？,ACE,练习:正方体ABCDEFGH中,2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,A,D,C,B,巩固练习,2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,A1,D1,C1,B1,A,D,C,B,巩固练习,2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,A,D,C,B,巩固练习,2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影,A,D,C,B,巩固练习,3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,0o,巩固练习,3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C