一线名师指点07年高考数学同步辅导第33讲算术平均数与几何平均数

一线名师指点07年高考数学同步辅导第33讲算术平均数与几何平均数【考点回放】1常用的基本不等式和重要的不等式（1） 当且仅当（2）（3），则（4）2最值定理:设（1）如积（2）如积即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等3 均值不等式:两个正数的均值不等式：三个正数的均值不等是：n个正数的均值不等式：4四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明【考点解析】1.设x0，y0，且xy（x+y）=1，则A.x+y2+2B.x+y2+2C.x+y（+1）2D.x+y（+1）2解析：x0，y0，xy（）2.由xy（x+y）=1得（）2（x+y）1.x+y2+2.答案：B2.已知x、yR，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是A.MNB.MNC.M=ND.不能确定解析：MN=x2+y2+1（x+y+xy）=（x2+y22xy）+（x22x+1）+（y22y+1）=（xy）2+（x1）2+（y1）20.答案：A3.设a0，b0，a2+=1，则a的最大值是_.解析：a2+=1a2+=.a=a=.答案：4.若记号“”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即ab=，则两边均含有运算符号“”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是_.解析：ab=，ba=，ab+c=ba+c.答案：ab+c=ba+c.思考：对于运算“”分配律成立吗?即a（b+c）=ab+ac.答案：不成立5（2020江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A）（B）（C）（D）【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。【正确解答】运用排除法，C选项，当a-b0，且满足的最小值是 .5.若a、b为实数, 且a+b=2, 则3a+3b的最小值为 A 18 B 6 C 2 D 26.若正数a、b满足aba+b+3，则ab的取值范围是_。7.设p+q=1, p0, q0, 则不等式logxpq1成立的一个充分条件是 A 0x B x C x18.设M=, 且a+b+c=1(其中a、b、cR), 则M的取值范围是D9函数的最大值是9，最小值是1，则a，b的值是（ ）A5，5B2，2C5，2D2，5【题型讲解】例1 设a0 ，b0 则下列不等式中不成立的是（）Aa+b+2 B (a+b)( +)4C a+b D 解法一：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1, 代入各选项中的不等式，易判断不成立解法二：可逐项使用均值不等式判断 Aa+b+2+2=2，不等式成立 Ba+b20, +20,相乘得: (a+b)( +)4成立 C a2+b2=(a+b)22ab(a+b)22()2=()2 又a+b 成立 D a+b2,=,即不成立故选D例2 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论解:不对设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有： ， 得G2=, G=由于，故 ,由平均值不等式 知说法不对真实重量是两次称量结果的几何平均值 点评:本小题平均值不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）的创新问题例3设x0, y0, x2+=1,则的最大值为分析: x2+=1是常数, x2与的积可能有最大值可把x放到根号里面去考虑,注意到x2与1+y2的积,应处理成2 x2解法一: x0, y0, x2+=1 =当且仅当x=,y=(即x2= )时, 取得最大值解法二: 令(0) 则=cos=当=,即=时,x=,y=时，取得最大值例4 若ab0, 求的最小值 分析: 的结构不对称,关键是的分母(ab)b,而(ab)+b=a, 故问题突破口已显然! 也可以逐步进行：先对b求最小值，然后在对a求最小值 解法一: =(ab)+b2 +22 +=4(ab)b+16 当且仅当b=(ab)且(ab)b=2,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16 解法二: =当且仅当b=(ab)且,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16点评:在运用均值不等式求最值时,凑出定值是关键!但在定值的过程中,不一定就能凑出定值来,实际上,分几步凑也是可以的,只要每步取等号的条件相同便可例5 若x0,y0,x+y=1, 求证:(1+)(1+)9分析: x+y常数,xy可有最大值证法一: 左边(1+)(1+)=1+=1+=1+1+=9右边 (当且仅当x=y=时取“=”号)证法二： 令x= y=, 0左边(1+)(1+)=(1+)(1+)=1+=1+=1+1+8=9右边 020)逆用为ab()2 （a,b0）等还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等3在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值【基础演练】1 设a、b0,ab=1, 试比较大小： 2(填“”,“”或“=”)答案：2 比较大小：若ab0, 则 (填“”,“2 若x, yR+, 且xy=s, xy=p, 则下列命题中正确的是（ ）A 当且仅当x=y时，s有最小值2 B当且仅当x=y时，p有最大值 C当且仅当p为定值时，s有最小值2 D若s为定值，则当且仅当x=y时，p有最大值答案：D4 若x, yR+, xy4,则下列不等式中成立的是（ ） A B1 C 2 D1答案：B 提示：2215 下列说法中不正确的是（ ） A由a、bR，可得a2b22ab(a2b2) B对于命题“a、bR+”,把条件改为a、b均为非负数后依然成立 C若ab0, nZ, n1,则ab D若a、b、cR+，则答案：D提示：=6 下列不等式中恒成立的是（ ）Actgtg2 Bx12 C2 Dxyz (xyz=1)答案：B7 当xR+ 时可得到不等式x2, x= 3, 由此可以推广为xn1, 取值p等于（ ） Ann Bn 2 Cn Dn1答案：A 提示：xn1，p= nn8 x、y0, xy=1, 且 a恒成立, 则a的最小值为（ ） A/2 B2 C2 D答案：D 提示：2=9 在区间(0, +)上，当x= 时，函数y=3x有最小值 答案：2；9 提示：y=3x3=9, 10 函数y=m2的值域为 答案：1, +)提示：y=m2= y=(m21)1211 已知x、y、z0,且xyz=1, 则的最大值为 ； 最小值为 答案：；112 已知：abc=1, a2b2c2=1, 且abc,则ab的取值范围是 ；a2b2 的取值范围是 答案：(1, )；(, 1)13 若a1, b1, c1, ab=10，求证：log aclog bc4lgc, 并指出什么时候等号成立答案：a=b=时等号成立 提示：a1, b1, c1, ab=10, log aclog bc=lgclgc=4lgc, 当lga=lgb时,即a=b=时等号成立14 若a0, b0，且=1, 求证：(I) ab4; (II) 对于一切nN, (ab)nanbn22n2n1成立提示：(I) =1, ab=()(ab)=114, (II) 当n=1时, 左式0，右式0，n=1时成立，假设n=k时成立，即(ab)kakbk22k2k1, 则当n=k1时，(ab)k1ak1bk1=(ab) (ab)kak1bk1(ab)(akbk22k2k1) ak1bk1=abkbak(ab)(22k2k1)22k1422k42k1=22k22k2, n=k1时命题成立【实战演练】1.设a0, b0，则以下不等式中不恒成立的是 ( ) （A）4 （B）（C） （D）2.若函数f(x)、g(x)的定义域和值域为R, 则f(x)g(x)(xR)成立的充要条件是 ( )A 有一个xR, 使得f(x)g(x) B 有无穷多个xR, 使得f(x)g(x) C 对R中的x都有f(x)g(x)+1 D R中不存在x,使得f(x)g(x)3.已知02a1,若A=1+a2, B=, 则A与B的大小关系是 . Ab+c,5若0,已知下列不等式:a+b|b| a2,其中正确的不等式的序号为 . ,6.已知、是实数, 给出四个论断:|+|=|+|; |-|+|; |2,|2; |+|5. 以其中的两个论断作为条件, 其余论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题 .14. 或.7.若f(x)()x，a、bR，Af()，Gf()，Hf()，则A、G、H的大小关系为A.AGHB.AHGC.HGAD.GHA8.若0ab1，则logab，logba，logb之间的大小关系是_. logblogablogba9、 若m0，且m+n0，则下列不等式中成立的是（ ）CA、-nmn-m B、-nm-mn C、m-nn-m D、m-n-mn 10、 已知，则下列不等式中成立的是B11、 下列不等式中解集为实数集R的是（ ）D12、设则（ ）D13、设，则中最小的是（ ）C14若为正实数，则A，G，H的大小关系为（ ）AAGHBAHGCHGADGHA15设,若、且，则下列不等式必定成立的是（ ） A B C D16、已知证明：17 已知a、b为正常数，且满足+=1，试求正数x，y的和x+y何时取得最小值，并求出这个最小值. 解：当18 在四面体ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，AC=BD.当AC、BD变化时，求该四面体体积的最大值.解：设E、F分别为BD、AC之中点，AC=BD=2x，依题设不难得到AEBD，CEBD，AE=EC.从而BD平面AEC，且EF为AEC边AC上的高，令当且仅当a时，四面体有最大体积19、某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?【解】由题意得 xy+x2=8,y=(0x4). 于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2()=(+)x+4. 当(+)x=,即x=84时等号成立. 此时, x2.343,y=22.828. 故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.20、某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果，四周围池壁建造单价为每米长400元，中间两道隔墙建造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。 解：设污水池长为x米，则宽为米 于是总造价 即 注意到 下面研究在上的单调性， 对任意，且，有 ， 即 在上是减函数 从而