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文档简介
北京四中2020年度第一学期高三年级期中数学试题及答案(文) 试卷满分为150分,考试时间为120分钟。考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效。 第一部分(选择题,共40分) 一、选择题:(每小题5分,共40分, 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.) 1. 已知集合,则( ) A. B. C. D. 2. “”是“”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 是等差数列的前项和,若,则( ) A. 15 B. 18 C. 9 D. 12 4. 设为两个平面,为两条直线,且,有如下两个命题: 若;若. 那么( ) A是真命题,是假命题 B是假命题,是真命题 C、都是真命题 D、都是假命题 5. 若是所在平面内的一点,且满足( BO+OC )( OC-OA )=0,则一定是( ) A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 斜三角形 6将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是( ) A B C D 7已知函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为( ) A B C D 8. 已知函数,给出下列四个说法: 若,则; 的最小正周期是; 在区间上是增函数; 的图象关于直线对称 其中正确说法的个数为( ) A1 B2 C3 D4 第二部分(非选择题,共110分) 二、填空题:(每小题5分,共30分) 9. 函数的递增区间是_. 10. 向量,满足,且,则,夹角的余弦值等于_. 11已知函数的最小正周期是,则正数_. 12湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为12 cm,深2 cm的空穴,则该球的半径是_cm,表面积是_cm. 13某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是_. 14. 如上页图,一条螺旋线是用以下方法画成:是边长为1的正三角形,曲线分别以为圆心,为半径画的弧,曲线称为螺旋线旋转一圈然后又以为圆心为半径画弧,这样画到第圈,则所得整条螺旋线的长度_(用表示即可) 三、解答题:(本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 15.(本小题满分13分) 在中,. ()求角; ()设,求的面积. 16.(本小题13分) 已知函数. ()求函数图象的对称轴方程; ()求的单调增区间; ()当时,求函数的最大值,最小值. 17.(本小题满分13分) 如图,正三棱柱中,D是BC的中点, ()求证:; ()求证:; ()求三棱锥的体积. 18.(本小题满分13分) 已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60,且的等比中项. ()求数列的通项公式; ()若数列的前项和 19.(本小题满分14分) 已知函数处取得极值. ()求的值; ()若当恒成立,求的取值范围; ()对任意的是否恒成立?如果成立,给出证明,如果不成立, 请说明理由. 20.(本小题满分14分) 设数列的首项R),且, ()若; ()若,证明:; ()若,求所有的正整数,使得对于任意,均有成立.【参考答案】 第一部分(选择题,共40分) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1. B 2. B 3. D 4. D 5. C 提示:由题意可知,BCAC = 0,即BCAC. 6. D 提示:沿向量平移,即先向右平移个单位,再向上平移1个单位. 7. B 8. B 提示:先化简f(x)可得,f (x)=,再利用它的图象和性质解决问题. 第二部分(非选择题,共110分) 二、填空题:(每小题5分,共30分) 9. 提示:注意定义域. 10. 120 11. 2 提示:利用图象的对称变换,可知该函数的周期为. 12. 10,400 提示:设球的半径为r,画出球与水面的位置关系图,如图: 由勾股定理可知,解得r =10. 13. 14. n (3n+1) 提示:设第n段弧的弧长为,由弧长公式,可得 数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈,有3n段弧, 故所得整条螺旋线的长度 三、解答题:(本大题共6小题,共80分) 15.(本小题满分13分) ()解:由, 得, 所以 3分 6分 且, 故 7分 ()解:据正弦定理得,10分 所以的面积为 13分 16. (本小题13分) 解: (I). 3分 令. 函数图象的对称轴方程是 5分 (II) 故的单调增区间为 8分 (III) , 10分 . 11分 当时,函数,最小值为. 13分 17(本小题满分13分) ()证明:ABCA1B1C1是正三棱柱, BB1平面ABC, BD是B1D在平面ABC上的射影 在正ABC中,D是BC的中点, ADBD, 根据三垂线定理得,ADB1D ()解:连接A1B,设A1BAB1 = E,连接DE. AA1=AB 四边形A1ABB1是正方形, E是A1B的中点, 又D是BC的中点, DEA1C. 7分 DE平面AB1D,A1C平面AB1D, A1C平面AB1D. 9分 () 13分 18(本小题满分13分) 解: ()设等差数列的公差为,则 1分 又 2分 解得 4分 . 5分 6分 ()由 9分 13分 19(本小题满分14分) 解: ()f(x)=x3x2+bx+c, f(x)=3x2x+b. 2分 f(x)在x=1处取得极值, f(1)=31+b=0. b=2. 3分 经检验,符合题意. 4分 ()f(x)=x3x22x+c. f(x)=3x2x2=(3x+2)(x1), 5分x 1 (1,2) 2f(x) + 0 0 +f(x) 7分 当x=时,f(x)有极大值+c. 又 x1,2时,f(x)最大值为f(2)=2+c. 8分 c22+c. c2. 10分 ()对任意的恒成立. 由()可知,当x=1时,f(x)有极小值. 又 12分 x1,2时,f(x)最小值为. ,故结论成立. 14分 20(本小题满分14分) ()解:因为 所以a2=a1+4=a+4,且a2(3,4) 所以a3=a23=a+1,且a3(0,1) 所以a4=a3+4=a+3,且a4(3,4) 所以a5=a43=a 4分 ()证明:当 所以, 6分 当 所以, 综上, 8分 ()解
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