北京四中2020届高三数学上学期期中测验试题 文 北师大版

北京四中2020年度第一学期高三年级期中数学试题及答案（文） 试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题：（每小题5分，共40分, 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 15 B. 18 C. 9 D. 12 4. 设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题： 若；若. 那么（ ） A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题 C、都是真命题 D、都是假命题 5. 若是所在平面内的一点，且满足( BO+OC )( OC-OA )=0，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 斜三角形 6将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是（ ） A B C D 7已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A B C D 8. 已知函数，给出下列四个说法： 若，则； 的最小正周期是； 在区间上是增函数； 的图象关于直线对称 其中正确说法的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：（每小题5分，共30分） 9. 函数的递增区间是_. 10. 向量，满足，且，则，夹角的余弦值等于_. 11已知函数的最小正周期是，则正数_. 12湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的半径是_cm，表面积是_cm. 13某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是_. 14. 如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈然后又以为圆心为半径画弧，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度_(用表示即可) 三、解答题：（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15.（本小题满分13分） 在中，. （）求角； （）设，求的面积. 16.（本小题13分） 已知函数. （）求函数图象的对称轴方程； （）求的单调增区间； （）当时,求函数的最大值,最小值. 17.（本小题满分13分） 如图，正三棱柱中，D是BC的中点， （）求证：； （）求证：； （）求三棱锥的体积. 18.（本小题满分13分） 已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项. （）求数列的通项公式； （）若数列的前项和 19.（本小题满分14分） 已知函数处取得极值. （）求的值； （）若当恒成立，求的取值范围； （）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立， 请说明理由. 20.（本小题满分14分） 设数列的首项R），且， （）若； （）若，证明：； （）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.【参考答案】 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. B 2. B 3. D 4. D 5. C 提示：由题意可知，BCAC = 0，即BCAC. 6. D 提示：沿向量平移，即先向右平移个单位，再向上平移1个单位. 7. B 8. B 提示：先化简f(x)可得，f (x)=，再利用它的图象和性质解决问题. 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：（每小题5分，共30分） 9. 提示：注意定义域. 10. 120 11. 2 提示：利用图象的对称变换，可知该函数的周期为. 12. 10，400 提示：设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图： 由勾股定理可知，解得r =10. 13. 14. n (3n+1) 提示：设第n段弧的弧长为，由弧长公式，可得 数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈，有3n段弧， 故所得整条螺旋线的长度 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分） （）解：由， 得， 所以 3分 6分 且， 故 7分 （）解：据正弦定理得，10分 所以的面积为 13分 16. （本小题13分） 解： （I）. 3分 令. 函数图象的对称轴方程是 5分 （II） 故的单调增区间为 8分 (III) , 10分 . 11分 当时,函数,最小值为. 13分 17（本小题满分13分） （）证明：ABCA1B1C1是正三棱柱， BB1平面ABC， BD是B1D在平面ABC上的射影 在正ABC中，D是BC的中点， ADBD， 根据三垂线定理得，ADB1D （）解：连接A1B，设A1BAB1 = E，连接DE. AA1=AB 四边形A1ABB1是正方形， E是A1B的中点， 又D是BC的中点， DEA1C. 7分 DE平面AB1D，A1C平面AB1D， A1C平面AB1D. 9分 （） 13分 18（本小题满分13分） 解： （）设等差数列的公差为，则 1分 又 2分 解得 4分 . 5分 6分 （）由 9分 13分 19（本小题满分14分） 解： （）f(x)=x3x2+bx+c， f(x)=3x2x+b. 2分 f(x)在x=1处取得极值， f(1)=31+b=0. b=2. 3分 经检验，符合题意. 4分 （）f(x)=x3x22x+c. f(x)=3x2x2=(3x+2)(x1)， 5分x 1 (1,2) 2f(x) + 0 0 +f(x) 7分 当x=时，f(x)有极大值+c. 又 x1，2时，f(x)最大值为f(2)=2+c. 8分 c22+c. c2. 10分 （）对任意的恒成立. 由（）可知，当x=1时，f(x)有极小值. 又 12分 x1，2时，f(x)最小值为. ，故结论成立. 14分 20（本小题满分14分） （）解：因为 所以a2=a1+4=a+4，且a2（3，4） 所以a3=a23=a+1，且a3（0，1） 所以a4=a3+4=a+3，且a4（3，4） 所以a5=a43=a 4分 （）证明：当 所以， 6分 当 所以， 综上， 8分 （）解