浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）

杭州学军中学2020学年第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，终边在射线上，则的值是（ ）A. 2B. -2C. D. 【答案】A【解析】【分析】由角以轴非负半轴为始边，终边在射线上，设终边上的点，根据三角函数的定义，即可求解，得到答案【详解】由题意，在平面直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，终边在射线上，设终边上的点，根据三角函数的定义可得，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题2.已知等比数列的各项均为正，成等差数列，则数列的公比是（ ）A. B. 2C. D. -2【答案】C【解析】【分析】由，成等差数列，可得，整理得，即可求解【详解】设等比数列的公比为，因为，成等差数列，则，即，可得，解答，故选C【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等差中项公式的应用，其中解答中熟练应用等差中项公式，以及利用等比数列的通项公式准确计算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题3.函数的最小正周期为，若将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的周期求出2，结合三角函数的平移关系进行求解即可【详解】函数（0）的图象中，最小正周期为，即周期T，则2，则f（x）sin（2x），将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x），则g（x）sin2（x）sin（2x）sin2x，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据周期公式求出的值，以及利用三角函数的平移法则是解决本题的关键4.已知数列满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据累加法求得数列通项的表达式，然后逐一验证可得结果详解：，将以上个式子两边分别相加可得，又满足上式，故选项A，B不正确又，故选项C不正确，选项D正确故选D点睛：解答本题的关键是求出数列的通项，已知数列的递推关系求通项公式时，若递推关系是形如的形式时，常用累加法求解，解题时要注意求得后需要验证时是否满足通项公式5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】, ,两式相加得： ，则 ，选A.6.已知中，角，的对边分别为，若满足，的三角形有两解，则边长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由有两解时，可得，代入数据，即可求解，得到答案【详解】由题意得，当有两解时，则满足，即，解得，故选B【点睛】本题主要考查了解三角形一题多解的问题，其中解答中熟记三角形两解的条件是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得，选A.8.已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，得到数列为单调递减数列，可知，分和两种情况讨论，即可求解【详解】由题意，对于任意的都有，所以数列为单调递减数列，由时，根据指数函数的性质，可知，当时，时，单调递减，而时，单调递减，所以，解得，所以；当时，时，单调递增，不符合题意（舍去）综上可知，实数的取值范围是，故选C【点睛】本题主要考查了数列的单调性，以及分段函数的的单调性的应用，其中解答中根据数列的单调性，利用分段函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题9.在内有任意三点不共线的2020个点，加上三个顶点，共2020个点，把这2020个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ）A. 4033B. 4031C. 4029D. 4027【答案】A【解析】【分析】先得到所有三角形的内角和，再根据三角形的内角和为，可得三角形的个数，得到答案【详解】由题意，三角形的内角和为，又以内部每个点为顶点的角的和为一个周角是，则2020个点的角的总和，加上三角形原来的内角和，所以所有三角形的内角和，所以三角形的个数为，故选A【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答根据各三角形内角总和得到三角形的个数是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题10.已知为锐角的外接圆的圆心，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取的中点的中点，连接，利用向量的数量积的计算公式，可得，再由正弦定理，得到，且，代入得，最后利用三角函数的基本关系式，即可求解【详解】如图所示，取中点的中点，连接，则；所以，所以由，设的外接圆半径为，则，由正弦定理得，所以，且，代入可得，所以，又因为，可得，即，故选B【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆圆心的概念，向量的数量积的计算公式，以及三角函数恒等变换和正弦函数的性质的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知中，角，的对边分别为，若，则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】在中，由余弦定理，可求得，再由正弦定理，求得，根据，即，即可求解【详解】在中，因为，由余弦定理可得，所以，又由正弦定理可得，即，又由，所以，所以【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题12.记为等差数列的前项和，公差为，若，.则_，_【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，求得，再利用前n项和公式，即可求解【详解】由题意，因为，所以，又由，所以，即，联立方程组，解得，所以【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题13.已知，则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据三角函数的基本关系式，可求得，再根据两角和的余弦函数，即可求解的值，得到答案【详解】因为，且，所以，由，则，又因为，则，所以【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中熟记两角和的余弦公式，以及合理应用三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题14.已知数列，满足，且，是函数的两个零点，则_，_【答案】 (1). 4 (2). 64【解析】分析】根据方程的根与系数的关系，得到，进而得，两式相除，得到，得出成等比数列，成等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解，得到答案【详解】由题意可知，是函数的两个零点，则，所以，两式相除可得，所以成等比数列，成等比数列，又由，则，所以，所以【点睛】本题主要考查了方程的根与系数的关系，以及等比数列的判定，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中利用根与系数的关系，递推得到数列间隔项构成等比数列是解答的关键，着重考查了转化、构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题15.在各项均为正数的等比数列中，若，则_【答案】4【解析】【分析】根据等比数列的性质化简题目所给已知条件，化简后可求得所求的结果.【详解】根据等比数列的性质得，故.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数的运算，属于基础题. 如果数列是等差数列，则数列的性质为：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则.16.若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为_【答案】【解析】【分析】设三角形三边是连续的三个自然数，三个角分别为，由正弦定理，求得，再由余弦定理，化简可得，解得，得到三角形的三边边长分别为，进而可求解三角形的面积【详解】设三角形三边是连续的三个自然数，三个角分别为，由正弦定理可得，所以，再由余弦定理可得，化简可得，解得或（舍去），所以，故三角形的三边边长分别为，又由余弦定理可得的，所以，所以三角形的面积为【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及二倍角公式的应用，其中解答中根据正弦、余弦定理建立三角形的边角关系，求得三角形的边长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题17.在中，角，的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为_【答案】 【解析】由题得由题得所以,当且仅当时取等号.所以的最大值为,故填点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点是得到后，如何求tanA的最大值. 转化成利用基本不等式求cosA的最大值.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在上单调递增区间.【答案】(1)；（2）递增区间为，【解析】【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简，再利用周期的公式，即可求解；（2）令，求得，又由由，即可求解函数单调递增区间【详解】（1）由题意，函数所以的最小正周期为（2）令，得，由，得在上单调递增区间为，【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题19.在中，角，的对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）由余弦定理可得：cosA=，即可得出（2）由正弦定理可得：可得b=，可得bsinC=2sinBsin=+，根据B即可得出【详解】(1)由已知，得.详解答案即.(2)由正弦定理，得，. ，当时，取得最大值.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.已知为等差数列前项和，.（1）求；（2）设，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式，根据题设条件，联立方程组，求得的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1），可得当时，当时，分类讨论，即可求解详解】（1）由，及，联立解得，所以（2）由（1），可得当时，当时，所以当时，当时，所以【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，以及等差数列中绝对值的和的求解，其中解答中熟记等差数列的通项，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题21.如图，在中，点在边上，为垂足.（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小.【答案】（1） （2） 【解析】分析：第一问利用三角形的面积公式，求出，再用余弦定理求；第二问先求，在中，由正弦定理可得，结合，即可得结论.详解：(1)由已知得SBCDBCBDsin B，又BC2，sin B，BD，cos B在BCD中，由余弦定理，得CD2BC2BD22BCBDcos B22222 CD(2)CDAD，在BCD中，由正弦定理，得，又BDC2A，得，解得cos A，所以A点睛：该题考查的是正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，在解题的过程中，只要对正余弦定理的内容以及三角形的面积公式能够熟记，就能求得结果.22.已知数列的前项和为，且.其中为常数.（1）求的值及数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立 ，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由题意知中，令，求得，即，所以两式相减整理得，利用等比数列的通项公式，即可求解（2）由（1）可得，利用“裂项”法求得，根据题设化简得对任意恒成立，记，分为奇数和为偶数讨论，求得的最大值，即可求解【详解】（1）由题意知中，令，得，又，解得，即，所以，两