北京市清华附中212届高三数学考前适应性训练试题 理（通用）

清华附中高清华附中高 0909 级适应性练习级适应性练习 理科数学理科数学 一、本大题共一、本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题分。在每小题 列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1若复数 2 ()i i xxx z （xR）为纯虚数，则 x等于（ ） A0 B1 C-1 D0 或 1 2已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺 寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是（ ） A 5 2 cm3 B 3 2 cm3 C3cm3 D2 cm3 3已知函数 , 0,ln , 0, )( xx xe xf x 则) 1 ( e ff=( ) A e 1 Be C- e 1 De 4如图,若程序框图输出的S是126,则判断框中应为 （ ） A ?5n B ?6n C ?7n D ?8n 5已知正项数列 n a中，1 1 a，2 2 a， 222 11 2(2) nnn aaan ，则 6 a等于（ ） A16 B8 C22 D4 6从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 B 为“取 到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)等于（ ） A B C D 1 4 1 8 2 5 1 2 7已知正实数a,b满足不等式1abab ,则函数( )logaf xxb的图象可能为（ ） 8已知点1,0A 、1,0B， 00 ,P xy是直线2yx上任意一点，以 A、B 为焦点的 椭圆过点 P记椭圆离心率e关于 0 x的函数为 0 e x，那么下列结论正确的是 （ ） Ae与 0 x一一对应 B函数 0 e x是增函数 C函数 0 e x无最小值，有最大值 D函数 0 e x有最小值，无最大值 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 9某校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量1000 为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽18575 取了人，则高中部共有学生_人60 10如图，切圆于点，割线经过圆，弦PCOCPABO 于点，已知圆的半径为，则CDABEO32PA _. PC OE 11曲线对称的曲线的极坐标方程为 4cos 4 关于直线 12.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线 sin0,f xx x及直线0,xa a与x轴围成，向矩 形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为 1 4 ，则a的值是 . 13已知不等式组表示的平面区域的面积为，点，则 ax xy xy S4SyxP),(yxz 2 的最大值为 . 14若点集 22 ( , )|1Ax yxy，( , )| 11, 11Bx yxy，则点集 1111 ( , )|1,1,( ,)Px yxxyyx yA所表示的区域的面积为_；点集 12121122 ( , )|,( ,),(,)Qx yxxxyyyx yA xyB所表示的区域的面积为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. （本小题满分 13 分）函数，xxxf 2 sin2 6 2sin2)( Rx P C B A D E O （）求函数的最小正周期；)(xf （）记的内角 A,B,C 的对边长分别为，若，求的ABCcba,3, 1, 1) 2 (cb B fa 值. 16 （本题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 是正三角形，且垂直于底面 ABCD，底面 ABC 是边长为 2 的菱形，BAD=60，M 为 PC 的中点. （）求证：PA/平面 BDM； （）在 AD 上确定一点，使得面面，并加以证明； O B OPPBC （III）求直线 AC 与平面 ADM 所成角的正弦值. 17 （本小题满分 14 分）某中学在高二开设了 A，B，C，D 共 4 门选修课，每个学生必须且 只需选修 1 门选修课，对于该年级的甲、乙、丙 3 名学生。 （）求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率； （）求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率； （III）求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望. 18. (本小题满分 13 分)函数,其中为常数,且.( )ln ax f xx x a0 a （I）若曲线在点（1，）处的切线( )yf x(1)f 与直线垂直，求的值；1 2 1 xya （II）若函数在区间1，2上的最小值为，( )f x 2 1 求的值. a 19.（本小题满分 13 分）已知椭圆C：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的上顶点为，两个焦点为A 、，为正三角形且周长为 6. 1 F 2 F 21F AF （）求椭圆C的标准方程； （）已知圆O: 222 Ryx，若直线l与椭圆C只有一个公共点M，且直线l与圆O相 切于点N；求| MN的最大值 20 （本小题共13分）将这个数随机排成一列，得到的一列数称为n, 3 , 2 , 1n n aaa, 21 的一个排列.n, 3 , 2 , 1 定义为排列的波动强),( 21n aaa| 13221nn aaaaaa n aaa, 21 度. （）当时，写出排列的所有可能情况及所对应的波动强度；3n 321 ,aaa （）当时，求的最大值，给出对应的一个排列；10n 1210 (,)a aa （）当时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波10n 动强度不增加，问对任意排列，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降 1210 ,a aa 为 9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出一个反例并加以说明. 适应性练习参考答案适应性练习参考答案 一、选择题一、选择题 （1）B （2）B （3）A （4）B （5）D （6）A （7）B （8）C 二、填空题二、填空题 9 3700 10 5 9 , 4 11 4sin 12 2 3 13 6 14；12 三、解答题三、解答题 15. （本小题满分 13 分）已知函数，xxxf 2 sin2 6 2sin2)( Rx （）求函数的最小正周期；)(xf （）记的内角 A,B,C 的对边长分别为，若，求的ABCcba,3, 1, 1) 2 (cb B fa 值。 解（）xxxf 2 sin2) 6 2sin(2)( )2cos1 () 6 sin2cos 6 cos2(sin2xxx )2cos 2 1 2sin 2 3 (2cos1xxx 12sin 2 3 2cos 2 1 xx 1) 3 2cos( x 所以函数的最小正周期为。)(xf （）由得,即1) 2 ( B f11) 3 cos( B0) 3 cos( B 又因为,所以 B0 3 4 33 B 所以,即. 23 B 6 B 因为3, 1cb 所以由正弦定理,得 C c B b sinsin 2 3 sinC 故 3 2 3 或C 当2 23 22 cbaAC，从而时， 当1 663 2 baBAC，从而，又时， 故的值为 1 或 2. a 16 （本题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 是正三角形，且垂直于底面 ABCD，底面 ABC 是边长为 2 的菱形，BAD=60，M 为 PC 的中点. （）求证：PA/平面 BDM； （）在 AD 上确定一点，使得面面，并加以证明； O B OPPBC （III）求直线 AC 与平面 ADM 所成角的正弦值. 【解析】 （1）证明：如图连接 AC、OM，因为 ABCD 为菱形，所以点 O 为 AC 的中点，又 M 为 PC 的中点，所以 在PAC中，平面 BDMOMPA/OM 所以 PA/平面 BDM； （）当为 AD 中点时 O BOBC OPBC 故面 BCBO P 从而面面； B OPPBC (III)PADABCD正三角形平面平面，建立如图的空间坐标系：则 A(1,0,0),D(-1,0,0),A(1,0,0),D(-1,0,0), 33 (0,0 , 3),( 2 , 3,0)( 1) 22 PCM，. . 33 ( 3, 3,0),( 2,0,0),(0). 22 ( , ,1)00 2 0,1;sin. 4 ACADDM ADMnx ynADn DM ACn xyACADM ACn ， 设平面的法向量为，则且， 设直线和平面所成角为，则 17 （本小题满分 14 分）某中学在高二开设了 A，B，C，D 共 4 门选修课，每个学生必须且 只需选修 1 门选修课，对于该年级的甲、乙、丙 3 名学生。 （I）求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率； （II）求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率； （III）求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望。 解析：()3 名学生选择了 3 门不同的选修课的概率为 8 3 444 234 43 3 4 1 A P () 恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率为 16 9 444 2332 43 2 2 2 3 2 4 2 ACC P o x y z O () 设 A 选修课被这 3 名学生选择的人数为，则0,1,2,3 P(0) 64 27 4 3 3 3 P(1) 64 27 4 3 3 21 3 C P(2) 64 9 4 3 3 1 3 C P(3) 64 1 43 3 3 C 的分布列是 4 3 64 1 3 64 9 2 64 27 1 64 27 0E 18. (本小题满分 13 分)已知函数,其中为常数,且.( )ln ax f xx x a0 a （I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求的值；( )yf x(1)f1 2 1 xya （II）若函数在区间1，2上的最小值为，求的值. ( )f x 2 1 a 解：() 222 1()1 ( ) xaxaxa fx xxxxx 0 x （I）因为曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，( )yf x(1)f1 2 1 xy 所以，即 (1)-2f12,3.aa 解得 (II)当时，在（1，2）上恒成立，01a( )0fx 这时在1，2上为增函数( )f x min ( )(1)1f xfa 当时，由得，12a( )0fx (1,2)xa 对于有在1，a上为减函数，(1, )xa( )0,fx ( )f x 对于有在a，2上为增函数，( ,2)xa( )0,fx ( )f x min ( )( )lnf xf aa 0123 P 64 27 64 27 64 9 64 1 当时，在（1，2）上恒成立，2a ( )0fx 这时在1，2上为减函数，( )f x . min ( )(2)ln21 2 a f xf 综上，当时，01a min ( )1f xa0 当时，令，得12a min ( )lnf xa 2 1 lnaea 当时，a2 min ( )ln21 2 a f x 2 1 2ln 综上，ea 19.（本小题满分 13 分）已知椭圆C：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的上顶点为，两个焦点为A 、，为正三角形且周长为 6. 1 F 2 F 21F AF （）求椭圆C的标准方程； （）已知圆O: 222 Ryx，若直线l与椭圆C只有一个公共点M，且直线l与圆 O相切于点N；求| MN的最大值 解：（）解：由题设得 222 62 2 cba caa ca 解得： 3, 2ba，故C的方程为1 34 22 yx . （）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为tkxy， 由直线l与圆O相切，得 222 2 )1 (, 1 | rkt k t r 由01248)43( 1 34 222 22 tktxxk tkxy yx ， 因为直线l与椭圆C相切，所以0)124)(43(4)8( 222 tkkt， 得 22 43kt， 所以 t k k kt xM 4 43 4 2 . 由MNON ，可得 2 2 2 2222222 3 43 4 3 4 1 |r k k rxryxONOMMN MMM - 由 2 2 2 4 3 r r k ，将代入得347 12 7| 2 22 r rMN， 当且仅当)4 , 3(32 2 r 所以32|MN 20 （本小题共13分）将这个数随机排成一列，得到的一列数称为n, 3 , 2 , 1n n aaa, 21 的一个排列.n, 3 , 2 , 1 定义为排列的波动强),( 21n aaa| 13221nn aaaaaa n aaa, 21 度. （）当时，写出排列的所有可能情况及所对应的波动强度；3n 321 ,aaa （）当时，求的最大值，并指出所对应的一个排列；10n 1210 (,)a aa （）当时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波10n 动强度不增加，问对任意排列，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降 1210 ,a aa 为 9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出一个反例并加以说明. 解：（）时，排列的所有可能为；3n 321 ,aaa