吉林省东北师范大学附属中学2020届高考一轮复习 数列（三）等比数列教案 理

吉林省东北师范大学附属中学2020届高考一轮复习 数列（三）等比数列教案 理知识梳理：（阅读教材必修5第36页45页）1、等比数列的定义: 。说明:等比数列an中，an0(nN*), q0 ；等比数列an中，若q0，则各项符号相同，若q0，则各项的符号正负交替出现。2、等比数列判断方法：、定义法：an+1an=q，（nN*，q0）、等比中项法 ：an+12=anan+2（nN*，an0 ；、an=c qn (c、q均0)； sn=k（qn-1）q0，q1，k0。3、等比数列通项公式及前n项和:通项公式: ;前n项和公式: ; 说明：（1）、知道a1，q，n，an，sn，这五个量中任意三个，就可求出其余两个； （2）、an=a1qn-1=a1qqn=cqn，当q是不等于1的正数时，y=qn是一个指数函数，而y= cqn是指数型函数。4、等比中项: ；5、等比数列常用的性质：（1）、an是等比数列，则pan（p0）；an2；1an；an+an+1；anan+1；仍是等比数列。（2）、an=amqn-m（m、nN*）；（3）、等和性：若m+n=p+q（m、n、p、qN*）则anam=apaq （4）、等比数列an中，等距离抽出的子数列依然是等比数列，即an，an+k，an+2k，为等比数列，公比为 ；（5）、片段和性质：若sn是等比数列的前n项和，且sn0，则sn，s2n-sn，s3n-s2n，成等比数列，公比为 。（6）、三个数成等比，可以设aq，a，aq （q为公比）（7）、单调性：当a10，0q0，q1时，an是增数列；当a11时或a10，0q1时，an是减数列；当q0，a10a11e，则lna1lna2lna20的值为()A12 B10 C8 De解析：lna1lna2lna20ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)lne1010，故选B.答案：B5若数列an满足a15，an1(nN*)，则其前10项和是()A200 B150 C100 D50解析：由已知得(an1an)20，an1an5，S1050.故选D.6.在等比数列an中，a1a2an2n1(nN*)，则aaa等于A(2n1)2 B.(2n1)2 C4n1 D.(4n1)解析：若a1a2an2n1，则an2n1，a11，q2，所以aaa(4n1)，故选D.7 “公差为0的等差数列是等比数列”； “公比为的等比数列一定是递减数列”； “a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”； “a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。命题中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题中可知an+1=an，an+1an未必成立，当首项a10时，anan，即an+1an，此时该数列为递增数列；命题中，若a=b=0，cR，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=，则成为不必要也不充分条件。点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。8、 命题1：若数列an的前n项和Sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列；命题2：若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(a0)，则数列an是等差数列；命题3：若数列an的前n项和Sn=nan，则数列an既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个解析： 由命题1得，a1=a+b，当n2时，an=SnSn1=(a1)an1。若an是等比数列，则=a，即=a，所以只有当b=1且a0时，此数列才是等比数列。由命题2得，a1=a+b+c，当n2时，an=SnSn1=2na+ba，若an是等差数列，则a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有当c=0时，数列an才是等差数列。由命题3得，a1=a1，当n2时，an=SnSn1=a1，显然an是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a10；即a1时数列an才又是等比数列。点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到Sn与an的关系，它们是an=，正确判断数列an是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择A。二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)9数列an中，设数列an的前n项和为Sn，则S9_.解析：S9(122242628)(371115)377.10数列an的前n项之和为Sn，Sn1an，则an_.解析：n1时，a1S11a1，得a1，n2时，Sn1an，Sn11an1. 两式相减得anan1an，即anan1，所以an是等比数列，首项为a1，公比为，所以ann1.11an是等比数列，前n项和为Sn，S27，S691，则S4_.解析：设数列an的公比为q，S27，S691.q4q2120，q23.S4a1(1q)(1q2)(a1a1q)(1q2)28. 答案：2812设数列an的前n项和为Sn(nN)，关于数列an有下列四个命题：若an既是等差数列又是等比数列，则anan1(nN)若Snan2bn(a，bR)，则an是等差数列若Sn1(1)n，则an是等比数列若an是等比数列，则Sm，S2mSm，S3mS2m(mN)也成等比数列其中正确的命题是_(填上正确命题的序号)解析：若an既是等差数列又是等比数列，an为非零常数列，故anan1(nN)；若an是等差数列，Snn2n为an2bn(a，bR)的形式；若Sn1(1)n，则n2时，anSnSn11(1)n1(1)n1(1)n1(1)n，而a12，适合上述通项公式，所以an(1)n1(1)n是等比数列；若an是等比数列，当公比q1且m为偶数时，Sm，S2mSm，S3mS2m不成等比数列答案：三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)13已知数列an中，a11，前n项和为Sn，对任意的自然数n2，an是3Sn4与2Sn1的等差中项(1)求an的通项公式；(2)求Sn.解：(1)由已知，当n2时，2an(3Sn4)(2Sn1)，又anSnSn1，由得an3Sn4(n2)an13Sn14两式相减得an1an3an1.a2，a3，an，成等比数列，其中a23S243(1a2)4，即a2，q，当n2时，ana2qn2n2n1.即 (2)解法一：当n2时Sna1a2ana1(a2an)11n1，当n1时S110也符合上述公式Snn1.解法二：由(1)知n2时，an3Sn4，即Sn(an4)，n2时，Sn(an4)n1.又n1时，S1a11亦适合上式Snn1.14设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中m为常数，且m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，bnf(bn1)(nN*，n2)，求证：为等差数列，并求bn.n2时，bnf(bn1)，bnbn13bn3bn1，推出.是以1为首项，为公差的等差数列，1，又1符合上式，bn.15已知an是首项为a1，公比q(q1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S24S4，设bnqSn.(1)求q的值；(2)数列bn