山东省乐陵市第一中学2020届高三数学 第9周 精选精编导数专题

山东省乐陵市第一中学2020届高三数学 第9周 精选精编导数专题1、已知函数（a为常数，a0）（）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）求证：当0a2时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的a（1，2），总存在，使不等式f（x0）m（1a2）成立，求实数m的取值范围 2、已知函f（x）=exx （e为自然对数的底数）（1）求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）ax的解集为P，若M=x|且MP求实数a的取值范围；（3）已知nN+，且Sn=n0f（x）dx，是否存在等差数列an和首项为f（I）公比大于0的等比数列bn，使得a1+a2+an+b1+b2+bn=Sn？若存在，请求出数列an、bn的通项公式若不存在，请说明理由 3、已知函数f（x）=lnxax（）求函数f（x）的极值，（）已知过点P（1，f（1），Q（e，f（e）的直线为l，则必存在x0（1，e），使曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线与直线l平行，求x0的值，（）已知函数g（x）图象在0，1上连续不断，且函数g（x）的导函数g（x）在区间（0，1）内单调递减，若g（1）=0，试用上述结论证明：对于任意x（0，1），恒有g（x）g（0）（1x）成立 4、已知函数f（x）=（2a）lnx+2ax（aR）（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当a0时，求f（x）单调区间；（）若对任意a（3，2）及x1，x21，3，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围 5、设函数f（x）=2axbx2+lnx给出下列条件，条件A：f（x）在x=1 和x=处取得极值；条件B：b=a（）在A条件下，求出实数a，b的值；（） 在A条件下，对于在上的任意x0，不等式f（x0）c0恒成立，求实数c的最小值；（） 在B条件下，若f（x）在（0，+）上是单调函数，求实数a的取值范围 7、设函数；（aR）（1）当a=0时，求f（x）的极值（2）当a0时，求f（x）的单调区间（3）当a=2时，对于任意正整数n，在区间上总存在m+4个数a1，a2，a3，am，am+1，am+2，am+3，am+4，使得f（a1）+f（a2）+f（am）f（am+1）+f（am+2）+f（am+3）+f（am+4）成立，试问：正整数m是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由 8、设函数f（x）=（x1）2+blnx，其中b为常数（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式都成立9、已知函数f（x）=exkx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k0，且对于任意xR，f（|x|）0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（x），求证：F（1）F（2）F（n）（nN+） 10、已知mR，函数f（x）=（x2+mx+m）ex（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；（3）当m=0时，求证：f（x）x2+x3 11、设函数f（x）=x1ex的定义域为（0，+）（1）求函数f（x）在m，m+1（m0）上的最小值；（2）设函数，如果x1x2，且g（x1）=g（x2），证明：x1+x22 12、函数y=ex（e为自然对数的底数）的图象向下平移b（0b，b1）个单位后得到的图象记为Cb，Cb与x轴交于Ab点，与y轴交于Bb点，O为坐标原点（1）写出Cb的解析式和Ab，Bb两点的坐标（2）判断线段OAb，OBb长度大小，并证明你的结论（3）是否存在两个互不相等且都不等于1的正实数m，n，使得RtOAmBm与RtOAnBn相似，如果相似，能否全等？证明你的结论 13、设函数f（x）=x2+xl，g（x）=ebx，其中P为自然对数的底（1）当b=1时，求函数F（x）=f（x）g（x）的极大、极小值；（2）当b=1时，求证：函数G（x）=f（x）+g（x）有且只有一个零点；（3）若不等式g（x）ex对x0恒成立，求实数b的取值范围 14、已知函数f（x）=4xk（x2+2clnx）（c1，kR）有一个极值点是1（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）记f（x）的极大值为M，极小值为N，比较的大小15、已知函数，g（x）=2（1+x）ln（1+x）x22x（1）证明：当x（0，+）时，g（x）0；（2）求函数f（x）的的极值 16、已知函数（）求f（x）的极值；（）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2上有公共点，求实数a的取值范围 17、已知函数（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求证：当x1时， 18、已知aR，函数f（x）=xln（x）+（a1）x（）若f（x）在x=e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；来源:Zxxk.Com（）求函数f（x）在区间e2，e1上的最大值g（a） 19、已知函数f（x）=ln（2+3x）x2（I）求f（x）在0，1上的极值；（II）若关于x的方程f（x）=2x+b在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围 20、已知f（x）=ln（1+ex）mx（xR）（）已知对于给定区间（a，b），这与x0x0，存在x0（a，b）使得成立，求证：x0唯一；（）x1，x2R，A1X2当m=1时，比较f（）和大小，并说明理由；（）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+ex）mx（xR，m1）图象上三个不同的点，求证：ABC是钝角三角形 21、已知函数（）若函数在区间（其中a0）上存在极值，求实数a的取值范围；（）如果当x1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（）求证（n+1）！2（n+1）en2（nN*） 22、已知函数（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4x），求证：当x2，f（x）g（x）；（3）若x1x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x24 23、设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（）求函数f（x）的极值点；（）证明对任意的正整数n，不等式都成立24、已知函数f（x）=ln（1+x）mx（）若f（x）为（0，+）上的单调函数，试确定实数m的取值范围；（）求函数f（x）在定义域上的极值；（）设，求证：anln2 25、已知函数在x=1处取到极值2（）求f（x）的解析式；（）设函数若对任意的x1R，总存在x21，e，使得，求实数a的取值范围 26、设函数f（x）=（x1）2+blnx，其中b为常数（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（2）b0时，求f（x）的极值点；（3）求证：对任意不小于3的正整数n，不等式ln（n+1）lnn都成立 27、已知（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=x22x+k有实数解，求实数k的取值范围；（3）当nN*，n2时，求证： 28、已知函数f（x）=px2lnx、（）若p=3，求曲f9想）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若p0且函f（x）在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（）若函数y=f（x）在x（0，3）存在极值，求实数p的取值范围 29、已知函数f（x）=（）求函数f（x）在区间1，e上的最大值、最小值；（）求证：在区间（1，+）上函数f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方；（）请你构造函数h（x），使函数F（x）=f（x）+h（x）在定义域（0，+）上，存在两个极值点，并证明你的结论 30、已知函数f（x）=ln（x1）k（x1）+1（1）求函数f（x）的极值点（2）若f（x）0恒成立，试确定实数k的取值范围（3）证明：+（nN，n1）1、已知函数（a为常数，a0）（）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）求证：当0a2时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的a（1，2），总存在，使不等式f（x0）m（1a2）成立，求实数m的取值范围解：由题得：（）由已知，得且，a2a2=0，a0，a=2（2分）（）当0a2时，当时，又，f（x）0，故f（x）在上是增函数（5分）（）a（1，2）时，由（）知，f（x）在上的最大值为，于是问题等价于：对任意的a（1，2），不等式恒成立记，（1a2）则，当m=0时，g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）g（1）=0，由于a210，m0时不可能使g（a）0恒成立，故必有m0，若，可知g（a）在区间上递减，在此区间上，有g（a）g（1）=0，与g（a）0恒成立矛盾，故，这时，g（a）0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）g（1）=0，满足题设要求，即，所以，实数m的取值范围为（14分） 2、已知函f（x）=exx （e为自然对数的底数）（1）求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）ax的解集为P，若M=x|且MP求实数a的取值范围；（3）已知nN+，且Sn=n0f（x）dx，是否存在等差数列an和首项为f（I）公比大于0的等比数列bn，使得a1+a2+an+b1+b2+bn=Sn？若存在，请求出数列an、bn的通项公式若不存在，请说明理由解：（1）函数f（x）=exx，f（x）=ex1；由f（x）=0，得x=0，当x0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增；当x0时，f（x）0，函数f（x）在（，0）上单调递减；函数f（x）的最小值为f（0）=1（2）MP，f（x）ax在区间，1有解，由f（x）ax，得exxax，即a在，2上有解；令g（x）=，x，2，则g（x）=，g（x）在，1上单调递减，在1，2上单调递增；又g（）=21，g（2）=1，且g（2）g（），g（x）的最大值为g（2）=1，a1（3）设存在公差为d的等差数列an和公比为q（q0），首项为f（1）的等比数列bn，使a1+a2+an+b1+b2+bn=Sn；且b1=f（1）=e1，；a1=，又n2时，an+bn=snsn1=en1（e1）n+；故n=2，3时，有；2得，q22q=e22e，解得q=e，或q=2e（舍），故q=e，d=1；此时an=+（n1）（1）=n，3、已知函数f（x）=lnxax（）求函数f（x）的极值，（）已知过点P（1，f（1），Q（e，f（e）的直线为l，则必存在x0（1，e），使曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线与直线l平行，求x0的值，（）已知函数g（x）图象在0，1上连续不断，且函数g（x）的导函数g（x）在区间（0，1）内单调递减，若g（1）=0，试用上述结论证明：对于任意x（0，1），恒有g（x）g（0）（1x）成立解：（）f（x）=（x0）若a0，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，此时f（x）不存在极值若a0令f（x）=0得x=，当x时，f（x）0，此时函数f（x）在此区间上单调递增；当x时，f（x）0，此时函数f（x）在此区间上单调递减；f（x）极大值=综上：当a0时，f（x）没有极大值，当a0时，f（x）极大值=lna1（）直线l的斜率k=，x0（1，e），依题意有f（x0）=a+即得x0=e1（1，e），故x0=e1（）f（x0）=或由以上结论得：对区间0，x存在x10，x使g（x1）=同样对区间x，1存在x2x，1使g（x2）=依题意得：g（x1）g（x2）即化简得g（x）g（0）（1x）成立 4、已知函数f（x）=（2a）lnx+2ax（aR）（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当a0时，求f（x）单调区间；（）若对任意a（3，2）及x1，x21，3，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围 解：（）依题意知f（x）的定义域为（0，+）当a=0时，f（x）=2lnx+，f（x）=令f（x）=0，解得x=当0x时，f（x）0；当x时，f（x）0又f（）=2ln2f（x）的极小值为22ln2，无极大值 （）f（x）=+2a=当a2时，令f（x）0，得0x或x，令f（x）0得x当2a0时，得，令f（x）0得0x或x；令f（x）0得x；当a=2时，f（x）=0综上，当a2时f（x），的递减区间为（0，）和（+），递增区间为（，）；当a=2时，f（x）在（0，+）单调递减；当2a0时，f（x）的递减区间为（0，）和（，+），递增区间为（，）（）由（）可知，当a（3，2）时，f（x）在区间1，3上单调递减当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）f（x2）|f（1）f（3）=（1+2a）（2a）ln3+6a=4a+（a2）ln3（m+ln3）aln3|f（x1）f（x2）|恒成立，（m+ln3）a2ln34a+（a2）ln3整理得ma4a，a0，m4恒成立，3a2，4，m5、设函数f（x）=2axbx2+lnx给出下列条件，条件A：f（x）在x=1 和x=处取得极值；条件B：b=a（）在A条件下，求出实数a，b的值；（） 在A条件下，对于在上的任意x0，不等式f（x0）c0恒成立，求实数c的最小值；（） 在B条件下，若f（x）在（0，+）上是单调函数，求实数a的取值范围解：（）f（x）=2axbx2+lnx，定义域为（0，+）（1分）f（x）在处取得极值，f（1）=0，（2分）即解得此时，可看出f（1）=0，f（2）=0且f（x）在x=1和两侧均为异号，符合极值条件所求a，b的值分别为（4分）（） 对于在上的任意x0，不等式f（x0）c0恒成立，只需cf（x）max由=当时，f（x）0，故f（x）在上是单调递增当时； f（x）0，故f（x）在上单调递减当x1，3时； f（x）0，故f（x）在1，3上单调递增是f（x）在上的极大值（6分）而=，f（3）=33+32+ln3=ln30（8分）f（x）max=f（3）=ln3c的取值范围为ln3，+），所以c得最小值为ln3（9分）（） 当a=b时，当a=0时，则f（x）在（0，+）上单调递增（10分）x0要使2ax2+2ax+10在（0，+）恒成立令g（x）=2ax2+2ax+1，则，即，解得2a0（12分）x0要使2ax2+2ax+10在（0，+）恒成立令g（x）=2ax2+2ax+1，即无解综上可知a的取值范围为2a0（14分） 6、设函数，已知f（x）在x=1处有极值（1）求实数a的值；（2）当（其中e是自然对数的底数）时，证明：e（ex）（e+x6）+4x4；（3）证明：对任意的n1，nN*，不等式恒成立解：（1）由题意函数，已知f（x）在x=1处有极值，所以f（1）=01+a+2=0解得：a=3（2），（x0），由，函数f（x）的单调递增区间为（2，e），单调的减区间为（1，2），=，又f（e）=，f（e）f（1）=e23e+2即：e26e+4x26x+4lnx即：e2x2+6x6e+44lnx（ex）（e+x6）+44lnxe（ex）（e+x6）+4x4；（3），函数f（x）的单调递减区间为（1，2），单调递增区间为（2，e），当x（1，+）时，函数f（x）在x=2处取得最小值2ln24， ， 由于以上各式并不都能取等号，所以把以上各式相加，变形得： =7、设函数；（aR）（1）当a=0时，求f（x）的极值（2）当a0时，求f（x）的单调区间（3）当a=2时，对于任意正整数n，在区间上总存在m+4个数a1，a2，a3，am，am+1，am+2，am+3，am+4，使得f（a1）+f（a2）+f（am）f（am+1）+f（am+2）+f（am+3）+f（am+4）成立，试问：正整数m是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+）当a=0时，令f（x）=0，解得当时，f（x）0；当时，f（x）0又，所以f（x）的极小值为22ln2，无极大值（2）=令f（x）=0，解得若a0，令f（x）0，得；令f（x）0，得若a0，当a2时，令f（x）0，得或；令f（x）0，得当a=2时，当2a0时，得，令f（x）0，得或；令f（x）0，得综上所述，当a0时，f（x）的递减区间为，递增区间为当a2时，f（x）的递减区间为；递增区间为当a=2时，f（x）递减区间为（0，+）当2a0时，f（x）的递减区间为，递增区间为（3）当a=2时，来源:学.科.网由，知时，f（x）0.，依题意得：对一切正整数成立令，则k8（当且仅当n=1时取等号）又f（k）在区间单调递增，得，故，又m为正整数，得m32，当m=32时，存在，am+1=am+2=am+3=am+4=8，对所有n满足条件所以，正整数m的最大值为32 8、设函数f（x）=（x1）2+blnx，其中b为常数（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式都成立解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+）， 当时，f（x）0，函数f（x）在定义域（0，+）上单调递增（2）由（）得，当时，函数f（x）无极值点时，有两个相同的解，时，时，函数f（x）在（1，+）上无极值点当时，f（x）=0有两个不同解，（i）b0时，此时f（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如表：x（0，x2）x2（x2，+）f（x）0+f（x）减极小值增由此表可知：b0时，f（x）有惟一极小值点，（ii）当时，0x1x21此时，f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（1，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）增极大值减极小值增由此表可知：时，f（x）有一个极大值和一个极小值点；综上所述：当且仅当时f（x）有极值点；当b0时，f（x）有惟一最小值点；当时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点（3）由（2）可知当b=1时，函数f（x）=（x1）2lnx，此时f（x）有惟一极小值点且 令函数h（x）=（x1）lnx（x0）9、已知函数f（x）=exkx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k0，且对于任意xR，f（|x|）0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（x），求证：F（1）F（2）F（n）（nN+）解：（）由k=e得f（x）=exex，所以f（x）=exe由f（x）0得x1，故f（x）的单调递增区间是（1，+），由f（x）0得x1，故f（x）的单调递减区间是（，1）（）由f（|x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数于是f（|x|）0对任意xR成立等价于f（x）0对任意x0成立由f（x）=exk=0得x=lnk当k（0，1时，f（x）=exk1k0（x0）此时f（x）在0，+）上单调递增故f（x）f（0）=10，符合题意当k（1，+）时，lnk0当x变化时f（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，lnk）lnk（lnk，+）f（x）0+f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在0，+）上，f（x）f（lnk）=kklnk依题意，kklnk0，又k1，1ke综合，得，实数k的取值范围是0ke（）F（x）=f（x）+f（x）=ex+ex，F（x1）F（x2）=，F（1）F（n）en+1+2，F（2）F（n1）en+1+2，F（n）F（1）en+1+2由此得，F（1）F（2）F（n）2=F（1）F（n）F（2）F（n1）F（n）F（1）（en+1+2）n故，nN* 10、已知mR，函数f（x）=（x2+mx+m）ex（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；（3）当m=0时，求证：f（x）x2+x3解：（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）ex=0，所以x2+mx+m=0因为函数f（x）没有零点，所以=m24m0，所以0m4（4分）（2）f（x）=（2x+m）ex+（x2+mx+m）ex=（x+2）（x+m）ex，令f（x）=0，得x=2，或x=m，当m2时，m2列出下表：x（，m）m（m，2）2（2，+）f（x）+00+f（x）mem（4m）e2当x=m时，f（x）取得极大值mem（6分）当m=2时，f（x）=（x+2）2ex0，f（x）在R上为增函数，所以f（x）无极大值（7分）当m2时，m2列出下表： x（，2）2（2，m）m（m，+）f（x）+00+f（x）（4m）e2mem当x=2时，f（x）取得极大值（4m）e2，（9分）所以（10分）（3）当m=0时，f（x）=x2ex，令（x）=ex1x，则（x）=ex1，当x0时，（x）0，（x）为增函数；当x0时，（x）0，（x）为减函数，所以当x=0时，（x）取得最小值0（13分）所以（x）（0）=0，ex1x0，所以ex1+x，因此x2exx2+x3，即f（x）x2+x3（16分） 11、设函数f（x）=x1ex的定义域为（0，+）（1）求函数f（x）在m，m+1（m0）上的最小值；（2）设函数，如果x1x2，且g（x1）=g（x2），证明：x1+x22解：（1），则x1时，f（x）0；0x1时，f（x）0所以，函数f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数（2分）当m1时，函数f（x）在m，m+1上是增函数，此时；当0m1时，函数f（x）在m，1上是减函数，在1，m+1上是增函数，此时f（x）min=f（1）=e；（6分）（2）证明：考察函数g（x）=xex，g（x）=（1x）ex所以g（x）在（，1）内是增函数，在（1，+）内是减函数（结论1）考察函数F（x）=g（x）g（2x），即F（x）=xex+（x2）ex2于是F（x）=（x1）（e2x21）ex当x1时，2x20，从而e2x210，又ex0，所以F（x）0，从而函数F（x）在1，+）是增函数又F（1）=e1e1=0，所以x1时，有F（x）F（1）=0，即g（x）g（2x）（结论2）（9分）若（x11）（x21）=0，由结论1及g（x1）=g（x2），得x1=x2=1，与x1x2矛盾；若（x11）（x21）0，由结论1及g（x1）=g（x2），得x1=x2，与x1x2矛盾；（11分）若（x11）（x21）0，不妨设x11，x21由结论2可知，g（x2）g（2x2），所以g（x1）=g（x2）g（2x2）因为x21，所以2x21，又由结论1可知函数g（x）在区间（，1）内是增函数，所以x12x2，即x1+x22（15分） 12、函数y=ex（e为自然对数的底数）的图象向下平移b（0b，b1）个单位后得到的图象记为Cb，Cb与x轴交于Ab点，与y轴交于Bb点，O为坐标原点（1）写出Cb的解析式和Ab，Bb两点的坐标（2）判断线段OAb，OBb长度大小，并证明你的结论（3）是否存在两个互不相等且都不等于1的正实数m，n，使得RtOAmBm与RtOAnBn相似，如果相似，能否全等？证明你的结论解：（1）由题得y=exb，令y=0，Ab（lnb，0）；令x=0，Bb（0，1b）（2）OAb=|lnb|，OBb=|1b|当0b1时，OAb=lnb，OBb=1b设函数f（x）lnxx1 （0x1），f（x）=10，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）f（1）=0，lnxx+1OAbOBb当b1时，同理可得OAbOBb，（3）当三角形同在第二象限时，0m1，0n1时，OAbOBb，若RtOAmBm与RtOAnBn相似，只有，设函数g（x）=（0x1），g（x）=（0x1），设函数h（x）=xlnx1，h（x）=lnx0在（0，1）上恒成立，h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）h（1）=0在（0，1）上恒成立，g（x）0在（0，1）上恒成立，g（x）在（0，1）上单调递减，所以当0m1，0n1时，不存在当三角形同在第四象限时，m1，n1，同理可得m，n不存在当三角形在不同象限时，不妨设0m1，n1时，若RtOAmBm与RtOAnBn相似，则OAmOBm，OAnOBn，则有，设M=f1m|f1m=（0m1），N=f2（n）|f2（n）=（n1），有g（x）性质可得：取m（，），f1（m）=在（，）上单调递增，f1（m），2取ne，e2，f2（n）=在e，e2递增，2e1，可得MN，因此存在0m1，n1，使得RtOAmBm与RtOAnBn相似如果全等，则有.由lnm=1nm=e1n，代入lnn=1m，lnn=1e1nenlnn=ene设函数F（x）=exlnxex+e （x1），F（x）=exlnx+=（xlnxx+1）设函数H（x）=xlnxx+1 （ x1），H（x）=lnx+11=lnx0，所以H（x）在（1，+）上单调递增，H（x）H（1）=0所以F（x）0在（1，+）上恒成立，F（x）在（1，+）上单调递增F（x）F（1）=0因此不存在n1，使得enlnn=ene所以不存在两个互不相等且都不等于1的正实数m，n，使得RtOAmBm与RtOAnBn全等 13、设函数f（x）=x2+xl，g（x）=ebx，其中P为自然对数的底（1）当b=1时，求函数F（x）=f（x）g（x）的极大、极小值；（2）当b=1时，求证：函数G（x）=f（x）+g（x）有且只有一个零点；（3）若不等式g（x）ex对x0恒成立，求实数b的取值范围（1）解：当b=1时，F（x）=（x2+x1）ex，则F（x）=（2x+1）ex+（x2+x1）（ex）=（x2x2）ex=（x+1）（x2）ex（2分）令F（x）=O，得x1=1，x2=2当x变化时，F（0）、F（x）的变化情况如下表：（4分）当x=1时，F（x）极小值=e：当x=2时，F（x）极大值=5e2（6分）（2）证：当b=1时，G（x）=x2+xl+ex，显然G（O）=O，当b=1时，G（x）=x2+xl+ex（7分）G（x）=2x+lex，则G”（x）=2+exO，（8分）G（x）在R上是增函数，当x0时，G（x）G（O）=O，G（x）单调递减，G（x）G（0）=0；来源:学,科,网当x0时，G（x）G（0）=O，G（x）单调递增，G（x）G（0）=0故函数G（x）有且只有一个零点x=0（注：或说明G（x）min=G（0）=O）（l0分）（3）解：g（x）=ebxex，等价于bxln（ex）=1+lnx对x0恒成立，即对x0恒成立，设，则bh（x）max（l2分）而，令h（x）=O，得x=1x（O，1）时，h（x）0：当x（1，+）时，h（x）O，h（x）max=h（1）=l，bl为所求（14分） 14、已知函数f（x）=4xk（x2+2clnx）（c1，kR）有一个极值点是1（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）记f（x）的极大值为M，极小值为N，比较的大小解：（I）由已知中k0f（x）=4xk（x2+2clnx）（c1，kR）f（x）=4k（2x+）=函数f（x）=有一个极值点是1f（1）=0c=令f（x）=0，即2kx22ck+4x=0此方程的一个根为1，另一个根为cc1，即0k1函数f（x）在（1，c）上为增函数，在（0，1），（c，+）上为减函数（II）由（I）知f（x）在x=c时取极大值，在x=1时取极小值M=f（c）=4ck（c2+2clnc），N=f（1）=4k，其中令g（c）=c212clnc，则g（c）=2c（2lnc+2）=2（c1lnc）再令h（c）=c1lnc，则h（c）=1=c1，h（c）0函数h（c）在（1，+）上为增函数h（c）h（1）=0g（c）0，函数g（c）在（1，+）上为增函数g（c）g（1）=0015、已知函数，g（x）=2（1+x）ln（1+x）x22x（1）证明：当x（0，+）时，g（x）0；（2）求函数f（x）的的极值解：（1）g（x）=2（1+x）ln（1+x）x22x，则g（x）=2ln（1+x）2x令h（x）=2ln（1+x）2x，则（1分）当1x0时，h（x）0，h（x）在（1，0）上为增函数当x0时，h（x）0，h（x）在（0，+）上为减函数（3分）所以h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0，所以g（x）0（x0），函数g（x）在（0，+）上为减函数（4分）当x0时，g（x）g（0）=0（5分）（2）函数f（x）的定义域是（1，+），（6分）由（1）知，当1x0时，g（x）=2（1+x）ln（1+x）x22xg（0）=0，当x0时，g（x）g（0）=0，所以，当1x0时，f（x）0f（x）在（1，0）上为增函数当x0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上为减函数（8分）故函数f（x）的单调递增区间为（1，0），单调递减区间为（0，+）故x=0时f（x）有极大值0（10分） 16、已知函数（）求f（x）的极值；（）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2上有公共点，求实数a的取值范围解：（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=令f（x）=0得x=e1a当x（0，e1a）时，f（x）0，f（x）是增函数当x（e1a，+）时，f（x）0，f（x）是减函数f（x）在x=e1a处取得极大值，f（x）极大值=f（e1a）=ea1（）（i）当e1ae2时，a1时，由（）知f（x）在（0，e1a）上是增函数，在（e1a，e2上是减函数f（x）max=f（e1a）=ea1又当x=ea时，f（x）=0，当x（0，ea时f（x）0当x（ea，e2时，f（x）（0ea1）所以f（x）与图象g（x）=1的图象在（0，e2上有公共点，等价于ea11解得a1，又a1，所以a1（ii）当e1ae2即a1时，f（x）在（0，e2上是增函数，f（x）在（0，e2上的最大值为f（e2）=所以原问题等价于，解得ae22又a1，无解综上实数a的取值范围是a117、已知函数（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求证：当x1时， 解：（1）又f（x）在x=2时取得极值，解得a=4（2）当a0时，当x（，0）时，f（x）0，当x（0，+）时，f（x）0，故当a0时，（，0）为函数的单调递减区间，（0，+）为函数的单调递增区间；当a=0，当x（，0时，f（x）0，当x0，+）时，f（x）0，故当a=0时，（，0为函数的单调递减区间，0，+）为函数的单调递增区间；当a0时，当x（，）（0，）时，f（x）0，当x（，0）（，+）时，f（x）0，故当a0时，（，），（0，）为函数的单调递减区间，（，0），（，+）为函数的单调递增区间；（3）令g（x）=，则g（x）=当x1时，g（x）0故在（1，+）上，g（x）=为增函数即当x1时，g（x）g（1）=0故当x1时， 18、已知aR，函数f（x）=xln（x）+（a1）x（）若f（x）在x=e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（）求函数f（x）在区间e2，e1上的最大值g（a）解：（）f（x）=ln（x）+a，（2分）由题意知x=e时，f（x）=0，即：f（e）=1+a=0，a=1（3分）f（x）=xln（x）2x，f（x）=ln（x）1令f（x）=ln（x）1=0，可得x=e令f（x）=ln（x）10，可得xe令f（x）=ln（x）10，可得ex0f（x）在（，e）上是增函数，在（e，0）上是减函数，（6分）（）f（x）=ln（x）+a，xe2，e1，xe1，e2，ln（x）1，2，（7分）若a1，则f（x）=ln（x）+a0恒成立，此时f（x）在e2，e1上是增函数，fmax（x）=f（e1）=（2a）e1（9分）若a2，则f（x）=ln（x）+a0恒成立，此时f（x）在e2，e1上是减函数，fmax（x）=f（e2）=（a+1）e2（11分）若2a1，则令f（x）=ln（x）+a=0可得x=eaf（x）=ln（x）+a是减函数，当xea时f（x）0，当xea时f（x）0f（x）在（，e）e2，e1上左增右减，fmax（x）=f（ea）=ea，（13分）综上：（14分）19、已知函数f（x）=ln（2+3x）x2（I）求f（x）在0，1上的极值；（II）若关于x的方程f（x）=2x+b在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围 解：（I），令f（x）=0得或x=1（舍去）当时，f（x）0，f（x）单调递增；当时，f（x）0，f（x）单调递减为函数f（x）在0，1上的极大值（II）由f（x）=2x+bln（2+3x）令，则，当时，（x）0，于是（x）在上递增；当时，（x）0，于是（x）在上递减，而，f（x）=2x+b，即（x）=0在0，1恰有两个不同实根等价于 20、已知f（x）=ln（1+ex）mx（xR）（）已知对于给定区间（a，b），这与x0x0，存在x0（a，b）使得成立，求证：x0唯一；（）x1，x2R，A1X2当m=1时，比较f（）和大小，并说明理由；（）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+ex）mx（xR，m1）图象上三个不同的点，求证：ABC是钝角三角形解：（）证明：假设存在x0，x0（a，b），且x0x0，使得，即f（x0）=f（x0）（1分），上的单调增函数（或者通过复合函数单调性说明f（x）的单调性）（3分）x0=x0，这与x0x0矛盾，即x0是唯一的（4分）（），原因如下：设，则由（）知f（x）单调增所以当xx2即时，有所以xx2时，F（x）单调减（5分）当xx2即时，有所以xx2时，F（x）单调增（6分）所以F（x）F（x2）=0，所以（8分）（）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1x2x3，因为m1，f（x）是xR上的单调减函数（9分）f（x1）f（x2）f（x3），（10分）x1x20，x3x20，f（x1）f（x2）0，f（x3）f（x2）0，cosB0，B为钝角故ABC为钝角三角形（12分）21、已知函数（）若函数在区间（其中a0）上存在极值，求实数a的取值范围；（）如果当x1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（）求证（n+1）！2（n+1）en2（nN*）解：（）因为，x0，则，当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值因为函数f（x）在区间（其中a0）上存在极值，所以，解得（）不等式，即为，记，所以，令h（x）=xlnx，则，x1，h（x）0h（x）在1，+）上单调递增，h（x）min=h（1）=10，从而g（x）0故g（x）在1，+）上也单调递增，g（x）min=g（1）=2，所以k2（3）由（2）知：恒成立，即，令x=n（n+1），则，所以，叠加得：ln12232=则12