山东省2020届高考数学 冲刺预测试题之解答题（2）三角与向量

解答题（2）三角与向量2020年高考对该部分考查的主要内容为：任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。高考对该部分的考查重基础，虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多，但是试题以考查基础为主，试题的难度一般是中等偏下。近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度。该部分解答题在高考中设置方向有：三角函数的图像和性质、正弦定理、余弦定理、平面向量的数量积、平面向量的几何意义等。几点说明：1、解三角形问题考查：正弦定理、余弦定理。2、两角和与差的三角函数。求三角函数的值域，步骤要详细。三角函数求最值的常用方法：（1）注意利用降幂公式以及辅助角公式将函数式化成单一名称三角函数形式，再利用三角函数的单调性、有界性以及数形结合求；（2）利用二倍角公式，将函数式化成单一名称三角函数的一元二次函数形式，（3）换元法，注意新元的范围，如遇到相关的问题；3、题目的形成：以平面向量为载体（向量平行，垂直，数量积）4、注意三角函数的图像与性质。的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为，对于和来说，对称中心对应于零点，对称轴与最值点对应。5、求三角函数的单调区间时，要注意A、的正负以及定义域。6、解三角形时，一般化角为边为好，注意锐角、钝角等条件，注意利用正余弦定理解三角形；7、注意向量夹角要共起点、向量的模与夹角与数量积的关系，以及与解三角形的关系；预测1、（12分）已知向量，其中，函数的最小正周期为，最大值为3。 （1）求和常数的值； （2）求函数的单调递增区间。解析：（1）， ，2分 由，得。6分 又当时，得.8分（2）由（1）当， 即，故的单调增区间为，。12分动向解读：本题主要结合三角函数与平面向量考查了三角函数的图像与性质。三角函数解答题的命题方向：（1）考查三角函数的图像与性质为主，一般需要求出函数的解析式，通过三角恒等变换的方法变换函数的解析式。（2）考查三角形中的三角恒等变换，其核心为根据正余弦定理实现边角之间的互化。（3）考查利用正余弦定理解三角形（包括实际应用题），这在近几年课标区高考试题中经常考到。预测2：（12分）在中，角的对边分别为 向量m=,n=，且mn.（1）求锐角的大小；（2）如果，求的面积的最大值。解析：（1） mn，即 3分又为锐角 ， 。6分（2） ：8分 又 代入上式得：（当且仅当 时等号成立）10分（当且仅当 时等号成立）。12分动向解读：本题主要考查解三角形，基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.预测3：（12分）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。解析：（1）要使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT，小艇到达T位置时轮船的航行位移即， （海里/时）OABTGH答：小艇航行速度应为海里。（2）分类讨论得：若轮船与小艇在A、T之间G位置相遇则有OGAG，又因为AGOG，所以不符合要求舍去。所以轮船与小艇的交点必在T、B之间。若轮船与小艇在H处相遇，则在直角三角形OHT中运用勾股定理有：，设,则：从而所以当时，即。答：当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东方向行走能以最短的时间遇到轮船。动向解读：本题从三角函数出发，考查了学生运用知识解决实际问题的能力、求解一元二次方程最值问题的能力以及综合分析问题的能力。对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，通过列表、作图等方式合理分析已知量间的关系，总是能够轻松解题。新教材中增设了三角函数模型的简单应用，且在课程标准中把“潮汐与港口水深”这一三角问题专门作为参考案例（在原来的教材中只是阅读材料），教材中有几处涉及到三角在物理学科中应用，如用函数的物理意义刻画简谐振动、交流电等