高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广 关注角集素材 北师大版必修4（通用）

关注角集我们知道，集合的元素多种多样，它可以是数、代数式、物、图形等，因此，在解答集合问题时应“一切从元素出发”.在学习三角函数后，以角为元素的集合问题也就摆在了我们的面前.以角为元素的集合我们称它为角集对于角集应关注什么，下面加以讨论一、会写是指已知角终边所在位置，会写时此时角的集合例1 如右图所示，写出终边落在阴影处(包括边界)的角的集合.分析：写角集合是有要求的，本题不能写成：| k360330k36045，kZ，错误在于出现矛盾不等式；|2k3302k45，kZ；错误有两点，其一是单位不统一，即角度制与弧度制不能混用，这里没有统一用弧度制；其二是角的大小没搞清楚，出现了矛盾不等式解：OB的终边上找到一个角30，而OA的终边上的角45故所求的区域角的集合为：| k36030k36045，kZ；或写成弧度形式：|2k2k，kZ评注：由图形写出区域角的方法是：首先依逆时针方向由小到大找出一个代表区间角，再在两端加上k360(kZ)，如果是互成对顶的区域，可用一个表达式表示，先在一个区域角中找出一个区间角，然后再在两端加上k180二、会判断是指给出多个角集，会判断它们之间的包含关系例2设两个集合Mx|x,kZ，Nx|xk,kZ，试确定M与N之间的关系.分析1：由于集合M、N中的角都与k有关，故应采用坐标系将角的终边的范围表示出来，再求解.解法1：集合M所表示的角的终边落在四个象限的角平分线上，集合N所表示的角的终边落在二、四象限的角平分线上，如图所示，由图形可知：NM.分析2：可用列举法把两个集合表示出来，再比较两个集合元素的异同，从而找出两集合的关系解法2：分别取k，1，0，1，2，得M，N， ，易看出， N中的元素在M中都有，而M中的元素如N所以NM. 评注：此类题可用数形结合法或列举法加以解决三、会算是指给出两个角集，会进行交集、并集、补集等运算例3已知集合A|30k18090k180,kZ，集合B|45k36045k360,kZ，求AB，AB分析：借助图形，在直角坐标平面内，分别找出集合A和集合B中的角的终边所在区域，终边在这两个区域的公共部分内的角的集合，就是AB.区域的所有部分的角的集合，就是AB解：由30k18090k180(kZ)，得当k为偶数，即k2n时，30n36090n360(nZ)，当k为奇数，即k2n1时，210n360270n360(nZ)，A集合中角的终边在右图阴影(1)内，集合B中的角的终边在阴影(2)内，因此集合AB中的角的终边在阴影(1)和(2)的公共部分内，所以AB|30k36045k360,kZ.说明：此类问题应注意两点：当所给角集中，不是以360为周期出现时，要对k进进行讨论，转化为周期是360，方便画出终边所在区域；解决问题时，可借助于图形，在平面坐标系中，作出它们终边所在区域，直观得出其交集或并集四、会综合是指角集与其它问题的综合，如与其它数集的综合 例4 已知集合Ax|kxk,kZ，Bx|x1|2，求AB.分析：由于k的取值的任意性，因此集合A实质上包含了无数多个区间，但B只有一个区间，则公共部分的区间只有有限个，因此只要找出这有限个区间即可.解：由Bx|x1|2x|3x1取k0，1，得A的区间为(，)(0，)，而k取其它值时，A