高中数学 第3章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）

3.2.2 直线的两点式方程疱丁巧解牛知识巧学一、直线的两点式方程1.已知直线过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则其方程为(x1x2且y1y2).2.对于两点式中的两个点，只要是直线上的两个点即可；另外，两点式方程与这两个点的顺序无关.如直线过点P1(1，1)、P2(2，3)，由两点式可得，也可以写成，最后均整理成2x-y-1=0.误区警示 两点式方程的应用前提是x1x2且y1y2，即斜率不存在及斜率为0时不能用两点式方程.当x1=x2时，方程为x=x1；当y1=y2时，方程为y=y1. 但若把直线的两点式方程化为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1），则表示过平面内任意已知两点的直线方程.二、直线的截距式方程 若直线过点A(a，0)、B(0，b)，其中a叫做直线在x轴上的截距(也叫横截距)，b叫做直线在y轴上的截距(也叫纵截距)，则直线的方程为(a0,b0).其应用前提是a0且b0，即直线与坐标轴平行时和直线过原点时不能用截距式方程.误区警示 两点式中的两个点成为与坐标轴的交点时才能应用截距式方程，否则无法应用.截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“+”连接，二是右边为“1”.如，等都不是直线的截距式方程.但，,等则是直线的截距式方程.直线的截距式方程是两点式方程的一种特殊情况，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较为方便.问题探究问题1 若将直线的两点式方程写成整式方程形式：(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)，它能否对垂直于坐标轴的直线也适用呢？探究:整式方程不但对同时与两坐标轴相交的直线成立，对垂直于x轴或y轴的直线也适用.如经过点P(2,1)分别作垂直于x轴的直线，垂直于y轴的直线，其方程分别为x=2，y=1，在x=2时有x1=x2，在y=1时有y1=y2.问题2 你能求出过点(2,1)和点(a，2)的直线方程吗？探究:受直线斜率存在与否的限制，此题要分a=2与a2两种情况讨论. 当a2时，直线方程为y-1=(x-2),即x-(a-2)y+a-4=0. 当a=2时，过点(2,1)和(2,2)的直线与x轴垂直，则直线方程为x=2. 由于当a=2时,方程x-(a-2)y+a-4=0,即为x=2. 所以适合题意的直线方程应为x-(a-2)y+a-4=0.典题热题例1 求满足下列条件的直线方程.(1)过点A(0,0),B(1,1);(2)在x轴上的截距是-2,在y轴上的截距是2;(3)过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等.思路解析：由已知直线上的两点确定直线方程时可用两点式,当两点在坐标轴上(即两截距已知)时,可用截距式,(3)题可用待定系数法.解：(1),即y=x.(2),即x-y+2=0.(3)设直线的两截距皆为a，当a=0时,直线方程设为y=kx. 将P(2,3)代入,得k=, 当a0时,设直线方程为. 将P(2,3)代入,得a=5. 所求直线方程为y=或, 即3x-2y=0或x+y-5=0.深化升华 在学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式四种方程形式后,解题可根据题目给出的条件灵活运用，不要千篇一律.确定直线方程需要两个条件，如两点式需要直线上两个点的坐标，截距式需要直线在两坐标轴上的截距.无论哪一种形式，都应明确其限制条件，如两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直的直线和过原点的直线等.最后没有特殊说明，应将直线方程化为Ax+By+C=0的形式.例2 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图3-2-3所示).将矩形折叠，使A点落在线段DC上.若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程.图3-2-3思路解析：如图所示，欲求折痕所在直线方程，可考虑根据题中条件选择合适的直线方程的形式.解：设点A关于折痕的对称点为E，由于点E在线段DC上，故可设点E的坐标为(t，1)(0t2). 若t=0，则“折痕”所在的直线为线段AD的中垂线，它的方程为y=； 若0t2，由kAEk=-1，则k=-1t=-k， 从而线段AE的中点M的坐标为()，故“折痕”所在直线的方程为. 综上所述，“折痕”所在直线的方程为深化升华 此题也可以分k=0和k0两种情况来求解.当k=0时，所得直线方程为y=，也适合在一般情况下所推得的方程.例3 已知直线mx+ny+12=0在x轴、y轴上的截距分别为-3和4，求m、n的值.思路解析：(分析一)将直线方程化为截距式，求出直线在两坐标轴上的截距，根据已知条件列出关于、的方程组，即可求解.(分析二)直线在x轴、y轴上的截距分别为-3和4，则直线过点(-3,0)和(0,4)，因此，将两点坐标代入直线方程即可求解.解：(解法一)将直线方程mx+ny+12=0化为, 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为、,根据题意有所以=4，=-3.(解法