安徽省砀山晨光中学2020届高三数学一轮复习 函数与导数

安徽省砀山晨光中学2020届高三数学一轮复习 函数与导数考点梳理1常见的几种函数模型(1)一次函数模型：yaxb(a0)；(2)反比例函数模型：y(k0)；(3)二次函数模型：yax2bxc(a0)；(4)指数函数模型：yN(1p)x(x0，p0)(增长率问题)；(5)对数函数模型yblogax(x0，a0且a1)；(6)幂函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)；(7)yx型(x0)；(8)分段函数型2三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性单调增函数单调增函数单调增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同四步八字(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论考点自测1(2020梅州调研)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()2某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过()A12小时 B4小时 C3小时 D2小时3(2020泉州月考)某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y5x4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A200副 B400副 C600副 D800副4用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是()A3 B4 C5 D65(2020济宁模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2，x(0,240)若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是_台考向一利用图象刻画实际问题【例1】(2020金华调研)如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个【训练1】 一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为_(填入正确图象的序号)考向二一次函数、二次函数、三次函数模型【例2】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8 000，已知此生产线年产量最大为210吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【训练2】 (2020江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值考向三分段函数模型【例3】某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在下图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？【训练3】 (2020孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水()A10吨 B13吨 C11吨 D9吨2(2020潍坊一模)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100x By50x250x100Cy502x Dy100log2x1003生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A36万件 B18万件C22万件 D9万件4(2020东莞调研)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()二、填空题(每小题5分，共10分)5(2020银川模拟)某电脑公司2020年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2020年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2020年到2020年，每年经营总收入的年增长率相同，2020年预计经营总收入为_万元6(2020西安十校期末)有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙厚度不计)三、解答题(共25分)7(12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各项开支2 000元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2020江门质检)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为()A2 B6 C8 D102.(2020江西)如图，|OA|2(单位：m)，|OB|1(单位：m)，OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至点A后停止设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)0)，则函数yS(t)的图象大致是()二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2020合肥一模)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图所示)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为_4将一个长宽分别是a，b(0b0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？ 小题专项集训四(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1(2020北京海淀期中)在同一坐标系中画出函数ylogax，yax，yxa的图象，可能正确的是() 2(2020江西九校联考)函数f(x)x316x的某个零点所在的一个区间是()A(2,0) B(1,1)C(0,2) D(1,3)3(2020厦门质检)已知f(x)则函数g(x)f(x)ex的零点个数为()A1 B2 C3 D44(2020西安质检)设a是方程log2x0的实数根，则有()Aa0 B1a2C0a25(2020杭州高中月考)函数y(0a1)的图象的大致形状是()6(2020台州期末)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是()A甲是图，乙是图 B甲是图，乙是图C甲是图，乙是图 D甲是图，乙是图7.(2020汕头模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(xN*)为二次函数关系(如右图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的平均利润最大()A3 B4 C5 D68(2020北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件 C100件 D120件9(2020杭州五校质检)设函数f(x)log3a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是()A(1，log32) B(0，log32)C(log32,1) D(1，log34)10(2020龙岩质检)若偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)x2，则关于x的方程f(x)x在上根的个数是()A1 B2 C3 D4二、填空题(每小题5分，共25分)11若函数f(x)axb有一个零点为2，则g(x)bx2ax的零点是_12(2020镇江调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_ km.13(2020合肥三模)设函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则函数yf(x)在区间0,100上至少有_个零点14(2020温州五校联考)对于任意实数x，x表示x的整数部分，即x是不超过x的最大整数这个函数x叫做“取整函数”，则lg 1lg 2lg 3lg 4lg 2 013_.15(2020山西四校联考)已知函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)是偶函数，当x0,1时，f(x)x2.若在区间1,3内，函数g(x)f(x)kxk有4个零点，则实数k的取值范围为_答案及解析考点自测1.答案A解析刚开始时，瞬时速度在变大，即曲线上对应切线的斜率变大；加速行驶过程中，瞬时速度变大得更快；匀速行驶过程中，速度不变，即曲线上对应切线的斜率不变；减速行驶过程中，瞬时速度在变小，即曲线上对应切线的斜率变小，故选A.2.答案C解析设共分裂了x次，则有2x4 096，2x212，又每次为15分钟，共1512180(分钟)，即3个小时3.答案D解析由5x4 00010x，解得x800，即日产手套至少800副时才不亏本4.答案B解析设至少要洗x次，则x，x3.321，因此需4次5.答案150解析产量x台时，总售价为25x；欲使生产者不亏本，必满足总售价总成本，即25x3 00020x0.1x2,0.1x25x3 0000，x250x30 0000，解之得x150或x200(舍去)故欲使生产者不亏本，最低产量是150台考向一、例1.解析：答案A审题视点 应从变化快慢上观察将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图应该是匀速的，故上面的图象不正确，中的变化率应该是越来越慢的，正确；中的变化规律是先慢后快，正确；中的变化规律是先快后慢，也正确，故只有是错误的选A.【训练1】解析：答案因为xyV，所以yxV，所以由yxV图象可知应填.例2.审题视点 (1)确定每吨平均成本的含义，利用不等式可求(2)总利润总收入总成本解(1)每吨平均成本为(万元)则482 4832，当且仅当，即x200时取等号年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元(2)设年获得总利润为R(x)万元则R(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210)R(x)在0,210上是增函数，x210时，R(x)有最大值为(210220)21 6801 660.年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元【训练2】解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.例3解(1)P(tN*)(2)设Qatb(a，b为常数)，把(4,36)，(10,30)代入，得a1，b40.所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Qt40,0t30，tN*.(3)由(1)(2)可得y即y(tN*)当0t20时，y有最大值ymax125(万元)，此时t15；当20t30时，y随t的增大而减小，ymax(2060)240120(万元)所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元【训练3】解(1)当0500时，f(x)0.05500500212x，故f(x)(2)当0500时，f(x)12x128，则水费y1622(x8)4x1620，x9.答案D2.解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得，应选C.答案C3.解析利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值答案B4.解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B.答案B5.解析设增长率为x，则有(1x)21 690,1x，因此2020年预计经营总收入为1 300(万元)答案1 3006.解析设矩形场地的宽为x m，则矩形场地的长为(2004x)m，面积Sx(2004x)4(x25)22 500.故当x25时，S取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m2.答案2 500 m27.解设该店月利润余额为L，则由题设得LQ(P14)1003 6002 000，由销量图易得Q代入式得L(1)当14P20时，Lmax450元，此时P19.5元；当20P26时，Lmax元，此时P元故当P19.5元时，月利润余额最大为450元(2)设可在n年内脱贫，依题意有12n45050 00058 0000，解得n20，即最早可望在20年后脱贫B级1.解析由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104(10010x)70，令104(10010x)70112104，解得2x8.故x的最小值为2.答案A2.解析当0t1时，甲从O点行往B点，乙从O点行往A点，故所围图形为三角形，所以S(t)2ttsin t2(01时，甲从B点沿圆弧行往C点，乙则停在A点，故所围图形为三角形加扇形，SSAOBS扇r3(t1)t.此段图象为直线，当甲移动至C点后，甲、乙均不再移动面积不再增加显然选项A符合，故选A.答案A3.解析依题意知，构造三角形相似，得，即x(24y)，阴影部分的面积Sxy(24y)y(y224y)，当y12时，S有最大值为180.答案1804.解析设切去正方形的边长为x，x，则该长方体外接球的半径为r2(a2x)2(b2x)2x29x24(ab)xa2b2，在x存在最小值时，必有0，解得，又0b1，故的取值范围是.答案5.解(1)由题意得：10(1 000x)(10.2x%)101 000，即x2500x0，又x0，所以00，所以01时，三个函数ylogax，yax，yxa均为增函数，则排除B，C.又由直线yxa在y轴上的截距a1可得仅D的图象正确，故应选D.答案D2.解析令f(x)0，解得x0或4.故选B.答案B3.解析在同一平面直角坐标系中画出函数yf(x)与yex的图象，结合图形可知，它们有两个公共点，因此函数g(x)f(x)ex的零点个数是2，选B.答案B4.解析由题意可知，a是函数y与ylog2x交点的横坐标，作出图象即可得1a2.答案B5.解析f(x)又0a1，故选D.答案D6.解析本题应注意距离s随时间t的变化趋势，可通过平均变化率，即sf(t)一次函数所在直线的斜率来判断，斜率越大，位移随时间的变化也越大，据此可得B选项是正确的答