复数学习的切入口 人教版

复数学习的切入口复数知识是数域扩大引入的新的知识，学生在学习的过程中普遍感到较为困难，笔者在教学的过程中，以以下几个知识点为切入口，引导学生学习，取得了较好的效果。一 复数相等知识的应用 复数 z1=a+bi,z2=c+di相等的充要条件是a=c 且b=d ,特别当 z1=0 时,a=0 且b=0。一般在复数方程中,若同时出现z、|z|或者,求z时,一般可设z=a+bi(a ,bR),利用复数相等的关系或给定的条件,列出a、b 的关系式,从中求出a、b，这种解法在复数的运算中具有通用性。例1 已知 z-1-2i+ =5-2i,求复数z。解: 设z=a+bi(a ,bR) 代入原方程,得a+bi-1-2i+a-bi=5-2i +a-bi=5-2i+a=5 且 bi=-2i z=3+2。例2 设复数z满足z-2 =2，且 z + R,求z。 解: 设z=a+bi(a ,bR) 则z+= a+bi+=(a +)+(b-)i Rb- =0 得 b=0 或a2+b2=4 又 z-2=2 得 (a-2)2+b2=4 由 得； z=4 或 z=1+ i 或 z=1-。二 复数模的几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合建立一一对应关系z=a+bi (a,bR)点Z(a,b), 这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决。这种数形结合的思想方法,在数学活动中是一种十分重要的思维策略。复数模z = a+bi =，表示复数z=a+bi在复平面上所对应的点Z(a,b)到坐标原点(0,0)的距离。由于= a-bi =z，因此， = z ， z2 = z 。复数的模在复平面内对应的几种常见的简单图形为:1) 以z0为圆心,r为半径的圆 z-z0=r；2) 线段z1z2的中垂线 z-z1=z-z2；3) z1、z2、z1-z2或z1+z2构成三角形的三边( z1、z2、o三点不共线)。 例3 已知 zC,满足 z=1且z+= z- ,求z 。解(解法一) |z|=1, z是以原点为圆心,1为半径的圆周上的点, y|z+| = |z-| 是以(-,0) (,0) 为端点的线段的中垂线。 Z(a,b)是两图象的交点, z=+i 或 z=-i 。 -1 - o 1 x (解法二) 设z = a+bi 由z=1 ,z+=z- 得 z=+ i , z= -。 例4 已知复数 z满足z-3-4i=2 ,求z的最大值和最小值,并求出最大值和最小值相对应的复数z。 解: z-3-4i=2 在复平面上的图形是以C(3,4)为圆心, 以2为半径的圆,z是圆周上的点,显然经过(3,4),(0,0)的直线与圆周的两个交点，就是z最大值和最小值所对应的的两个复数。C z的最大值为OA=7, 最大值所对应的复数为+ y A z的最小值为OB=3, 最小值所对应的复数为 +。 BO x三 共轭复数以及运算性质的应用在复数问题的求解中,共轭复数以及它的运算性质经常用到, 共轭复数以及运算性质的灵活应用,可以使求解迅速简便.共轭复数的有关性质: (z20) 如果 zR z = 如果z0,且z为纯虚数 z + =0 如果z=1 z = 。 此外方程x3=1的两虚根w=-+i,w=- -i所具有的性质w2=,w2+w+1=0,w3=1也必须加以重视。例5 复数z1,z2满足z1=3,z2=5,z1+z2=6 , 求 z1-z2的值。解: z1+z2=6 z1+z22 = 36又z1+z22 =(z1+z2)(+)= z1+z1+z2+z2 =z12+z22+(z1+z2)= 9+25+(z1+z2)=36 z1+z2= 2 z1-z22= z1+z2-(z1+z2)= 34-2 = 32 z1-z2= 。例6 设x1,x2是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的两虚根,且R, 求 的值。解: R, 且 x1=, =, 即 x13 = x23 , ( )3 = 1 , = - 。例7 已知非零复数z1,z2 满足z1+z2=z1-z2求证: 0。解: (证法一) z1+z2=z1-z2 z1+z22 =z1-z22 (z1+z2)(+)=(z1-z2)(-) z1+z2 =0 z10 , z20,在等式两边同除以,得 += 0, 又 0, 为纯虚数, 0。 (证法二) z1+z2=z1-z2且z10, z20 在等式两边同除以z2,得+1=-1,此式表示复数在复平面内的对应点到点A(-1,0),B(1,0)的距离相等,所以在线段AB的中垂线上,即y轴上(除去原点),因此是纯虚数, 0。例 8 已知z为虚数，且z=1，求证：是纯虚数。解：（解法一）设z=a+bi(a,bR，b0）z=1，z=1= 是纯虚数。 （解法二）设u=， =，z=1，z =, u = - ， u+ =0 即 u=是纯虚数。 例9 设实系数方程x2-（2a+1）x+a+2=0（aR）有虚根a，且a3R，求实数a的值。解：方程有虚根a，则a的共轭复数也必为其根，a3R，设a=kw，（w=-+ i ，kR） a+ =2a+1 k+k=2a+1 -k=2a+1 a =a+2 k2=a+2