重庆市第一中学2020学年高一数学上学期期中试题(1)

重庆市第一中学2020学年高一数学上学期期中试题注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效3考试结束后，将答题卡交回4本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知函数，则下列区间中，的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 4. 已知，且，则等于（ ）A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 6. 国家法律规定，汽车驾驶员血液中酒精含量不能超过20mg/100ml，否则违法。某驾驶员在一次喝酒后血液中的酒精含量达到160mg/100ml，如果该驾驶员血液中的酒精含量每小时减少一半，那么他要能合法驾驶机动车至少需要经过（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时7. 若函数是奇函数，则实数（ ） A. B. C. D. 8. 函数（是自然对数的底数，）的大致图象为（ ）9. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.11. 已知函数满足，若方程有个不同的实数根，则（ ）A. B. C. D. 12. 如图，设平行于轴的直线分别与函数及的图象交于两点，点位于函数的图象上，若为正三角形，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把最简答案写在答题卡相应位置上13. 已知幂函数满足，则_；14. 函数的最大值为_；15. 已知函数，则_；16. 定义（且）. 则下列关于函数的四个命题：函数的定义域为，值域为； 函数是偶函数且在上是增函数；函数满足：对任意的，都有（为常数且）成立； 函数有个不同零点其中正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. （本小题满分10分）已知集合，函数的定义域为集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）计算下列各式的值：（1）；（2）.19. （本小题满分12分）设函数，其中为常数.（1）当时，求的值域；（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.20. （本小题满分12分）已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的，存在，使不等式成立，求实数的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数,其中为常数（1）若在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）已知，若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围22. （本小题满分12分）已知函数（且）是定义域为的奇函数（1）求实数的值；（2）设函数，判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义进行证明；（3）若的图象过点，是否存在正数（），使函数，的最大值为？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2020年重庆一中高2022级高一上期期中考试数学测试参考答案2020.11.27一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。15. DBCDA, 610. BCCDA, 1112. BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把最简答案写在答题卡相应位置上。13. 3； 14. 2； 15. 1.； 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. 【解析】（1）当时，； 又由解得，（2），18. 【解析】（1）原式（2）原式 19. 【解析】（1）当时，函数即，即函数的值域为（2）不等式恒成立恒成立恒成立恒成立. ， ，故实数的取值范围是20. 【解析】（1）当时，不等式即：，故原不等式的解集为（2）（法一）对任意的，存在，不等式成立当，时当时，单调递减，又函数的对称轴为，当时：若，即，则，即，此时若，即，则，即，此时综上得实数的取值范围为（法二）对任意的，存在，不等式成立对任意的，当时，单调递减，对任意的，即恒成立，故实数的取值范围为21. 【解析】：（1）（）是由函数和复合而成，而为减函数，当时，为上的减函数，则为上的增函数，不符合题意；当时，则在区间单调递增，综上实数的取值范围是（2）函数在内有且只有一个零点方程即在内有且只有一个根.令则条件等价于两个函数与的图象在区间内有唯一的交点.当时，在上递减，在上递增，且，与在内有唯一的交点；当时，图象开口向下，对称轴为，在上递减，而在上递增则，故；当时，图象开口向上，对称轴为，在上递减，而在上递增则，故；综上，所求实数的取值范围是.22. 【解析】（1）是定义域为的奇函数，经检验符合题意.（2）由（1）知函数为，在定义域上单调递增，证明如下：设任意的，则： ，即 故在定义域上单调递增（3）假设存在符合题意的正数（）. 由