宁夏石嘴山市第三中学2020届高三数学四模考试试题 理（含解析）

石嘴山三中2020届高三年级第四次模拟考试数学（理科）能力测试一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】易知，结合复数模的运算法则求解其值即可.【详解】由题意可得：.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，属于中等题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解不等式求出，再求即可.【详解】由，解得，则.又，所以.故选C【点睛】本题考查列举法、描述法表示集合，一元二次不等式的解法，以及交集的运算3.设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】,又，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件4.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】【分析】根据折线图的数据，依次判断各个选项所描述的数据特点，得到正确结果。【详解】选项：折线图整体体现了上升趋势，但存在年月接待游客量小于年月接待游客量的情况，故并不是逐月增加，因此错误；选项：折线图按照年份划分，每年对应月份作比较，可发现同一月份接待游客数量逐年增加，可得年接待游客量逐年增加，因此错误；选项：根据折线图可发现，每年的，月份接待游客量明显高于当年其他月份，因此每年的接待游客高峰期均在，月份，并非，月份，因此错误；根据折线图可知，每年月至月的极差较小，同时曲线波动较小；月至月极差明显大于月至月的极差，同时曲线波动幅度较大，说明月至月变化比较平稳，因此正确.本题正确选项：【点睛】本题考察了统计部分的基础知识，关键在于读懂折线图，属于基础题。5.在等差数列中，若，则（ ）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】C【解析】【分析】由得，然后再根据等差数列项的下标和的性质得到所求【详解】设等差数列的公差为，则由得，整理得，所以故选C【点睛】本题考查等差数列的基本运算和下标和的性质，运用下标和性质解题可简化运算，提高解题的效率，属于基础题6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为 ,选D.【此处有视频，请去附件查看】7.如图的程序框图，当输出后，程序结束，则判断框内应该填（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算出输出时，；继续运行程序可知继续赋值得：，此时不满足判断框条件，结束程序，从而可得判断框条件.【详解】解析当x3时，y3；当x2时，y0；当x1时，y1；当x0时，y0；当x1时，y3；当x2时，y8；当x3时，y15，x4，结束所以y的最大值为15，可知x3符合题意判断框应填：故选【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8.长方体中，E为的中点，则异面直线与AE所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】建立坐标系如图所示则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1，2,1)cos，.所以异面直线BC1与AE所成角余弦值为.9.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果【详解】对于A，函数，当时，；当时，所以不满足题意对于B，当时，单调递增，不满足题意对于C，当时，不满足题意对于D，函数为偶函数，且当时，函数有两个零点，满足题意故选D【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象10.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图象平移可得，根据为偶函数和的范围可求得，从而得到解析式；利用的范围求得的范围，根据正弦函数图象可求得函数值域.【详解】向左平移个单位得：又为偶函数 ， ， 当时， 本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数图象平移变换、根据函数性质求解函数解析式、三角函数在区间内的值域问题的求解，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.11.已知双曲线的左、右焦点分别为点，抛物线与双曲线在第一象限内相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据准线方程和抛物线定义可知四边形为平行四边形，从而可知为半通径，从而可构造出关于的齐次方程，解方程求得离心率.【详解】由可得准线方程为：（过点）设到准线的距离为，则又，四边形为平行四边形 轴又，则，即：解得：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够构造出关于的齐次方程，从而建立起关于离心率的方程.12.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（ ）A. -3B. -4C. -5D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知函数在区间上单调递增，等价于在上恒成立，即在上恒成立，结合二次函数在某个闭区间上的最值，求得结果.【详解】函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其对称轴为，当即时，在上恒成立等价于，由线性规划知识可知，此时；当即时，在上恒成立等价于，即；当即时，在上恒成立等价于，此时；综上可知，故选.【点睛】该题考查的是有关式子的最值的问题，涉及到的知识点有函数在给定区间上单调对应的等价条件，二次函数在给定区间上的最小值的求解，属于较难题目.二、填空题。13.已知，与的夹角为，则_【答案】 【解析】【分析】利用两个向量的数量积的定义求出，再利用|2-|=即可得解.【详解】因为=2，=3，、的夹角为60，所以=23=3，所以|2-|=.故答案为.【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法14.若，则_【答案】0【解析】【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值，即可求得的值【详解】令x2得：0，即0；故答案为：0【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于基础题15.数列满足：，且的前项和为，则_.【答案】【解析】【分析】先通过求出通项公式，再求前项和为【详解】由得 所以，且所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且 所以前项和【点睛】本题考查数列求通项公式的方法以及数列的分组求和，属于一般题。16.点在曲线：上运动，且的最大值为，若，则的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】首先可确定曲线表示圆心为，半径为的圆；令，则；的最大值为半径与圆心到点的距离之和，利用两点间距离公式求得，代入中利用最大值为可求得，将所求的式子变为，利用基本不等式求得结果.【详解】曲线可整理为：则曲线表示圆心为，半径为的圆设，则表示圆上的点到的距离则，整理得：又（当且仅当，即，时取等号），即的最小值为本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，解题关键是掌握圆上的点到定点距离的最值的求解方法，从而可得到之间的关系，从而配凑出符合基本不等式的形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.已知函数.（1）求函数在的单调递减区间；（2）在锐角中，内角，的对边分别为，已知，求的面积.【答案】（）和；（）.【解析】试题分析：（）结合诱导公式及二倍角公式化简函数得，求减区间，只需即可，结合求交集即可；（）由，结合锐角，可得，由正弦定理将转化为，进而可求面积.试题解析：（）由已知得 .，又函数在的单调递减区间为和. （）由（1）知锐角， 又，即.又 .18.从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似为样本平均数，近似为样本方差（）利用该正态分布，求；（）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（）的结果，求附：若，则，【答案】（1）平均数=140；（2）（）0.3413（）见解析【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中的数据结合平均数和方差公式直接计算即可；（2）（）由（1）中数据知，计算出答案即可；（）依题意知服从二项分布，由二项分布的直接计算即可.【详解】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为（2）（）由（1）知，从而（）由（）知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知服从二项分布，所以点睛】本题考查了频率分布直方图，平均数与方差，正态分布与二项分布，属于中档题.19.如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，（1）若，求证：平面；（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）若AA1AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1平面A1B1CD；（2）建立坐标系，根据二面角CA1DC1的余弦值为，求出的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可【详解】解：（1）证明：连接交于，因为，又平面，所以，所以四边形正方形，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，又，所以平面，所以，又因为 AC1平面A1B1CD；（2）如图建立直角坐标系，则，设平面的法向量为，由 即，解得设平面的法向量为 由得解得由得，所以 此时所以【点睛】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出的值是解决本题的关键20.已知，为椭圆：的左右焦点，点为其上一点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：交椭圆于，两点，且原点在以线段为直径的圆的外部，试求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a、b，进而得椭圆的标准方程。（2）设出A、B坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。【详解】解：（1）由题可知，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）设，由，得，由韦达定理得：，由 得或.又因为原点在线段为直径的圆外部，则， ，即，综上所述：实数的取值范围为【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，属于中档题。21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记函数在上的最大值为，证明：.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可；（2）对求导，得，因为，所以，令，求导得在上单调递增， ，使得，进而得在上单调递增，在上单调递减；所以，令 ，求导得在上单调递增，进而求得m的范围.【详解】（1）因，所以，当时，；当时，故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，则，当时，令，则，所以在上单调递增，因为，所以存在，使得，即，即.故当时，此时；当时，此时.即在上单调递增，在上单调递减.则 .令，则.所以在上单调递增，所以，.故成立.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.22.选修4-4：坐标系与参数方程直线 的极坐标方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为 （为参数）。（1）将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，写出的极坐标方程；（2）射线与交的交点分别为，射线与和的交点分别为，求四边形的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍得，先消元得圆的方程，再化为极坐标方程；（2）将四边形面积转化为两个三角形面积之差，再根据极径的意义求三角形面积即可.试题