变形及刚度计算

,第八章变形及刚度计算,第八章,变形及刚度计算,主讲教师：余茜,81轴向拉伸杆的变形,82圆轴扭转时的变形和刚度计算,83梁的变形及刚度计算,84简单超静定问题,目录,第二章轴向拉伸和压缩,8-1轴向拉压杆的变形,8-1轴向拉压杆的变形,F,F,一、轴向拉压的变形分析,F,F,轴向拉伸：纵向伸长、横向缩短,纵向伸长量：,横向缩短量：,轴向压缩：纵向缩短、横向伸长,纵向缩短量：,横向伸长量：,注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不一的杆件，因此引入应变的概念。,F,F,F,F,1、纵（轴）向变形量：,2、横向变形量：,二、线应变,轴向线应变：,线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长，称之为线应变。,横向线应变：,3、线应变的符号约定：与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。,8-1轴向拉压杆的变形,上式表明，在线弹性范围内轴向拉、压杆件的伸长或缩短量l，与轴力FN和杆长l成正比,与EA成反比。,EA抗拉（压）刚度,8-1轴向拉压杆的变形,由胡克定律,且,轴向线应变：,E弹性模量,EA抗拉（压）刚度,l表示长为l的杆件在轴力FN的作用下的伸长量或缩短量,条件：杆件在l长范围内EA和FN均为常数。,当EA和FN在杆长范围内分段为常数时,FN图,当EA和FN在杆长范围内为位置的函数时,8-1轴向拉压杆的变形,三、泊松比,当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。,横向线应变：,纵向线应变：,实验表明，对于同一种线弹性材料，存在如下关系：,称为泊松比，量纲为一,负号表示纵向与横向变形的方向总是相反,8-1轴向拉压杆的变形,40KN,20KN,10KN,50kN,20kN,30kN,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法画轴力图,分析：多力作用下，整个杆长范围内轴力分段为常数，只能分段求变形，再求和。,又因为BD段内虽然轴力为常数，但截面面积又分两段，所以要分4段求变形。,FN图,8-1轴向拉压杆的变形,40KN,20KN,10KN,50kN,20kN,30kN,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法画轴力图,FN图,8-1轴向拉压杆的变形,40KN,20KN,10KN,50kN,20kN,30kN,A,B,C,D,E,1m,2m,3m,1m,解：用直接法画轴力图,FN图,即杆被压短了1.572mm,8-1轴向拉压杆的变形,解：,把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度qA,任意取一个截面11，画受力图。轴力,在11截面处取出一微段dy作为研究对象，受力如图。,由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，认为在微段dy上轴力均匀分布（常数）,8-1轴向拉压杆的变形,8-1轴向拉压杆的变形,结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集中力作用在杆端所引起的变形量的一半。,G,令取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作用在自由端，此时杆件的伸长量为,8-1轴向拉压杆的变形,82圆杆扭转时的变形和刚度计算,一、扭转变形扭转角,抗扭刚度,扭率：,单位长度扭转角（扭率）描述了扭转变形的剧烈程度,扭转角：,单位：rad,一、扭转变形扭转角,扭转角：,当在杆长l内扭率为常数时,单位：rad,当在杆长l内扭率分段为常数时，用求和公式,82圆杆扭转时的变形和刚度计算,二、刚度条件,以度每米为单位时,以弧度每米为单位时,许用单位长度扭转角,三、刚度条件的应用,（1）校核刚度（2）设计截面（3）确定荷载,82圆杆扭转时的变形和刚度计算,例题：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的许用切应力=40MPa，轴的许用单位扭转角=0.8/m，剪切弹性模量G=80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。,d2,d1,A,B,C,8KN.m,5KN.m,3KN.m,d2,d1,A,B,C,8KN.m,5KN.m,3KN.m,解：强度校核,MT图,满足强度条件,分析：虽然MTAB0,Mb时,右支座处截面的转角绝对值为最大,1,2,D截面的挠度：,把x=a代入y1或者y2，得,叠加原理：梁在小变形、弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和。,四、用叠加法求梁的变形,力的独立作用原理在线弹性及小变形条件下，梁的变形（挠度y和转角）与荷载始终保持线性关系，而且每个荷载引起的变形与其他同时作用的荷载无关。,叠加法的分类,直接叠加梁上荷载可以化成若干个典型荷载，每个典型荷载都可以直接查表求出位移，然后直接叠加；,间接叠加梁上荷载不能化成直接查表的若干个典型荷载，需将梁进行适当转换后才能利用表中结果进行叠加计算。,四、用叠加法求梁的变形,例题：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度yC和支座处横截面的转角A、B。,解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图b、c所示,(b),B,B,(C),查表，得,例题：试利用叠加法，求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度yC和两端截面的转角A,B。,解：可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。,（1）正对称荷载作用下,（2）反对称荷载作用下,可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l/2的简支梁,在跨中C截面处，挠度yc等于零，但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零,C,A,B,（2）反对称荷载作用下,将相应的位移进行叠加,即得,例题：一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图所示,试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角B以及A端和BC中点D的挠度yA和yD。,解：将外伸梁沿B截面截成两段，将AB段看成B端固定的悬臂梁，BC段看成简支梁。,B截面两侧的相互作用力为：,2qa,简支梁BC的受力情况与外伸梁AC的BC段的受力情况相同,由简支梁BC求得的B，yD，就是外伸梁AC的B，yD,简支梁BC的变形就是MB和均布荷载q分别引起变形的叠加。,(1)求B，yD,由叠加原理得,(2)求yA,由于简支梁上B截面的转动，代动AB段一起作刚体运动，使A端产生挠度y1,悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度y2,2qa,2qa,因此，A端的总挠度应为,查表，得,2qa,2qa,式中：ymax为梁上最大的挠度；l为梁的跨长；f/l为梁的许可挠度与的跨长比值。,五、梁的刚度校核,刚度条件（一般只校核挠度）,注意：1、建筑结构即要满足强度条件，同时也要满足刚度条件；2、一般情况下，强度条件起控制作用，所以，在设计梁的截面时，用强度条件选择梁的截面，选好后再代入刚度条件进行校核。,一、超静定的概念,8-4简单超静定问题,8-4简单超静定问题,静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目，全部未知量均可求出，这样的问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。,超静定或静不定：未知量的数目多于独立的平衡方程的数目，未知量不可全部求出，这样的问题称为超静定问题，相应的结构称为超静定结构。超出几个未知量，就是几次超静定问题。通常超静定问题需要建立补充方程，方可求解。在超静定结构中，若不考虑强度和刚度而仅针对维持结构的平衡而言，有些约束是可以去掉的，这些约束称为多余约束，与其相应的支座反力称为多余支反力。,独立的平衡方程数：236未知力数：2+1+2+16独立的平衡方程数=未知力数,独立的平衡方程数：236未知力数：3+1+2+17未知力数独立的平衡方程数,静定问题,超静定问题,8-4简单超静定问题,例题：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力P的作用，如图所示。计算A、B的约束反力。,a,8-4简单超静定问题,判断超静定次数：这是一次超静定问题。,解：,（1）平衡方程为,a,8-4简单超静定问题,多余约束：固定端A或者固定端B。,去掉多余约束代之以多余约束力所得到的体系称为基本体系。,FRB,变形协调条件（相容条件）是：杆的总长度不变,几何方程,a,8-4简单超静定问题,P,b,l,B,A,C,物理方程,补充方程,把物理方程代入几何方程，得,平衡方程,a,8-4简单超静定问题,二、超静定问题求解方法,注意：有几次超静定就要列几个几何方程。画变形图时，杆的变形与假设的轴力符号要一致。,8-4简单超静定问题,思考题刚性梁ABC由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。尺寸如图所示，拉力