江苏省2020届高三数学 全真模拟卷卷18

江苏省2020届高三全真模拟卷数学卷18一、填空题（每小题5分，共70分）1. 若集合，函数的定义域为，则 .2.设是纯虚数，则= .3. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是_ _. 4. 一个算法的程序框图如右图所示，若执行该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是 . 5在中，三内角的对边分别是，若，则角的值为 .6若是函数的两个零点，则的值为 .7. 若直线与圆交于两点，且M、N两点关于直线对称，则不等式组表示的平面区域的面积是 .8在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库。一号仓库存有则10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是 .9. 已知数列为等差数列，为等比数列，且满足：，则 .10. 下列命题中，正确命题的序号为 . 经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行；已知平面,直线和直线，且，则；有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；三棱锥的四个面可以都是直角三角形.11已知椭圆的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为 .12. 已知定义在上的函数，满足对任意，都有成立，则= .13. 在中，已知分别所对的边，为的面积，若向量，满足，则 .14. 设函数，若，则函数的各极大值之和为 .二、解答题15（14分）已知函数和.（1）设是的一个极大值点，上的一个极小值点，求的最小值；（2）若，求的值.16（14分）如图，所有棱长都为2的正三棱柱，四边形是菱形，其中为的中点。(1) 求证：；（2）求证：面面；（3）求四棱锥与的公共部分体积. 17（15分）已知点是圆上一动点，点在轴上的射影为，设满足条件（为非零常数）的点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若存在过点的直线与曲线相交于两点，且为坐标原点），求的取值范围.18（15分）如图，在一条河流的上、下游分别有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水万，每天流过甲厂的河水流量是万（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水万，每天流过乙厂的河水流量是万（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有可自然净化. 假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放.（1）求河流在经过乙厂后污水含量的百分比约是多少？（精确到）（2）根据环保要求，整个河流中污水含量不能超过，为此，甲、乙两家工厂都必须各自处理一部分污水.已知甲厂处理污水的成本是，乙厂处理污水的成本是，求甲、乙两厂每天分别处理多少万污水，才能使两厂处理污水的总费用最少？最小总费用是多少元？19（16分）已知数列的通项公式为.（1）若成等比数列，求的值；（2）是否存在，使得成等差数列，若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：数列中的任意一项总可以表示成数列中其它两项之积.20（16分）已知函数是自然对数的底数）.（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.附加题21、【选做题】请从A,B,C,D四小题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分，每小题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A(4-1 几何证明选讲选做题) 如图，ABC内接于圆,点D是圆上异于A、B、C三点的任意一点，过D点作，交AB、BC、AC分别为P,Q,R.(1)求证：BDP=CDR；(2)求证：P,Q,R三点共线.B(4-2 矩阵与变换选做题)已知曲线：.（1）将曲线绕坐标原点顺时针旋转后，求得到的曲线的方程；（2）求曲线的焦点坐标和渐近线方程.C(4-4 坐标系与参数方程选做题)过点作倾斜角为的直线与曲线交于点若点恰为弦的中点，求直线的方程； 求的最小值及相应的的值D(4-5 不等式选讲选做题)设a、b、c均为实数，求证：+22、（10分）如图6，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且求证：；当、共面时，求：到直线的距离； 面与面所成二面角的余弦值23.（10分）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有次选题答题的机会，选手累计答对题或答错题即终止其初赛的比赛：答对题者直接进入决赛，答错题者则被淘汰已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为求选手甲可进入决赛的概率；设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列，并求的数学期望参考答案一、填空题1. ； 2. 3； 3. ；4. ； 5. ；6. ；7. ；8. 500元； 9. ； 10. ；11. ； 12. 0或；13. ；14. .二、解答题15解：（1）由题意，得2分于是，当时等号成立. 4分所以的最小值为. 6分（2）因为，8分由，得，所以， 10分所以=12分当为偶数时，；当为奇数时，.14分16证明(1) 如图取的中点为，连AF,CF, 易得AFCF为平行四边形。 ,又 .4分 （2）连接,因是菱形故有又为正三棱柱故有 所以,而所以面面 9分（3）设BD与BD的交点为O ,由图得四棱锥与的公共部分为四棱锥O-ABCD且易得O到下底面的距离为1，所以公共部分的体积为。 .14分17解：（1）设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为.由，得. 3分因为点在圆上，则，所以.故点的轨迹的方程为. 7分（2）因为直线的斜率为0时，故可设直线的方程为.由得 （）10分设点，则.因为，则，所以， 13分因为，所以.此时（）的判别式成立，故的取值范围是. 15分18解：（1）由题意，甲厂排放的污水在流到乙厂时有被净化，所以河流在经过乙厂后污水的总含量为.故河流在经过乙厂后污水含量的百分比约是.6分（2）设甲、乙两厂每天分别处理污水万，两厂处理污水的总费用为元.则. 目标函数为.98分作可行域，如图. 11分平移直线，当直线经过点时，取最小值，此时（元） 13分故甲、乙两厂每天应分别处理1万、0.8万污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是1640元. 15分19解：（1）因为成等比数列，所以，即，. 5分(2)若存在，使得成等差数列，则有，即，得，. 8分故存在，使得成等差数列，且时，时，. 11分（3） 13分是数列的不同于的两项，所以数列中的任意一项总可以表示成数列中其它两项之积. 16分20解：（1），所以在处的切线为即： 2分与联立，消去得，由知，或. 4分（2）当时，在上单调递增，且当时，故不恒成立，所以不合题意 ；6分当时，对恒成立，所以符合题意；当时令，得， 当时，当时，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，综上：. 10分(3)当时，由（2）知，设，则，假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，13分令得：，因为， 所以.令，则 ，当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程 有唯一解为1，所以存在符合条件的，且仅有一个. 16分=2分得到，得到代入，得5分（2）（法一）曲线的焦点坐标是，渐近线方程，=， 7分设上任意点变换后对应的点为=，得，求得代入，得到和9分矩阵变换后，曲线的焦点坐标是。曲线的渐近线方程为和。10分（法二）曲线的焦点坐标是，渐近线方程，将点分别代入，得到7分将代入，得到和；9分矩阵变换后，曲线的焦点坐标是。曲线的渐近线方程为和。 C解：设直线为，代入曲线并整理得设分别对应与，则，4分若点恰为弦的中点，则，此时，直线的方程为7分，当时，即，的最小值为，此时10分D. 证明： a、b、c均为实数（），当a=b时等号成立； （），当b=c时等号成立； （） 7分三个不等式相加即得+，当且仅当a=b=c时等号成立. 10分22、以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、，设，则，从而、，直接计算知，所以4分当、共面时，因为底面，所以，所以，从而、分别是、的中点7分，设到直线的距离为，在