山东省菏泽市2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文（含解析）

山东省菏泽市2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文（含解析）一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集运算计算即可.【详解】集合，则，故选:A【点睛】本题考查集合的交集运算,属于简单题.2.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可得到答案.【详解】，故选:C【点睛】本题考查复数的商的运算，属于简单题.3.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】当时，可以推得；但当时，不可以推得，故“”是“”的充分不必要条件，故选:A【点睛】本题考查充分必要条件的判断，属于基础题.4.已知向量，且，则实数（ ）A. 1B. -1C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用两个向量平行的充要条件计算即可.【详解】易知，因为，所以，解得：，故选：B【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答.5.圆与直线的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上三种情况都有可能【答案】C【解析】【分析】通过比较圆心到直线的距离和半径即可得到位置关系.【详解】圆的圆心坐标是，半径是，因为圆心到直线的距离，满足，所以圆与直线的位置关系是相离，故选:C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判定，比较圆心到直线的距离和半径即可.6.在区间上随机取一个数，则的值介于0到之间的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解得到x的范围，然后利用几何概型个概率公式计算即可.【详解】所有的基本事件构成的区间长度为，由，解得：，则，所以由几何概型的概率公式得的值介于0到之间的概率为，故选:D【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，几何概型问题还有以下几点容易造成失分，（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.7.在中，角的对边分别为，若，则（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】将已知条件利用正弦定理化简即可得到答案.【详解】因为，由正弦定理，得，所以，故选:A【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的几何体，由圆锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的几何体，且大圆锥与被挖去的小圆锥共底面，大圆锥的底面圆半径为，高为，被挖去的小圆锥的底面圆半径为，高为，所以该几何体的体积为，故选:B【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查圆锥体积公式的计算，属于常考题型.9.已知实数满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的值为（ ）A. -1B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由约束条件作出可行域如图所示，其中，目标函数可化为，当直线过点时最大，所以，解得，故选:C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10.若，且是钝角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将凑成然后利用两角和的余弦公式计算即可.【详解】因为是钝角，且，所以，故 ，故选:D【点睛】本题考查同角三角函数关系式和余弦的两角和公式的应用，解决本题的关键是将凑成的形式.11.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得【详解】抛物线的准线方程为，联立双曲线，解得，由题意得，所以，所以，故选:D【点睛】本题考查双曲线的简单性质解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出FAB为等腰直角三角形12.已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则（ ）A. 4B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】设，则，记，则函数是奇函数，由已知的最大值为，最小值为，所以，即，故选A【点睛】利用函数的奇偶性的图象特点来解决某些问题的常用方法，反映到图象上大致是：若函数在区间 上的最大值为，在图象上表现为点是函数图象在区间上的最高点，由图象的对称性可得点是函数图象在区间上的最低点.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.函数的图像在处的切线方程是_【答案】【解析】【分析】对函数求导，求得切线斜率和切点坐标，利用点斜式可得切线方程.【详解】，所以，又当时，所以切线方程为，故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.14.在中，角的对边分别为，若，则等于_【答案】1【解析】【分析】利用余弦定理直接计算即可得到答案.【详解】由余弦定理知：，即，解得或b=-2(舍去），故答案为：1【点睛】本题考查余弦定理的简单应用，属于简单题.15.已知椭圆的离心率为，则_【答案】或【解析】【分析】将椭圆的方程化为标准方程，然后根据焦点在x轴和y轴两种情况，利用离心率公式计算即可.【详解】将椭圆化为标准方程是，若，即，则椭圆的离心率为，解得：；若，即，则椭圆的离心率为，解得：. 故答案为：或【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，考查分类讨论思想和计算能力，属于基础题.16.如图，在正四面体中，是棱上靠近点的一个三等分点，则异面直线和所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】取棱上靠近点的一个三等分点，由已知得，所以是异面直线和所成的角或其补角，求出CE,CF和FE的长，利用余弦定理计算即可.【详解】如图，取棱上靠近点的一个三等分点，又因为是棱上靠近点的一个三等分点，所以，所以是异面直线和所成的角，不妨设正四面体的棱长为3，则，在中，由余弦定理，得 ，所以，同理，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理，得.故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角，求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项等比数列中，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由等比数列和等差数列的通项公式列出方程可求公比q,由此能求数列an的通项公式（2）写出数列的通项公式，然后利用裂项相消求和法可得结果.【详解】（1）设等比数列的公比为因为成等差数列，所以，得，又，则，即，所以，所以，所以，所以显然，所以，解得故数列的通项公式（2）由（1）知，所以则 【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的应用，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.18.如图，在四棱柱中，底面，四边形是边长为4的菱形，分别是线段的两个三等分点.（1）求证：平面；（2）求四棱柱的表面积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】(1) 连接与交于点，则为的中点，连接，由比例关系可得，由线面平行的判定定理即可得到证明；（2）分别求出四棱柱各个面的面积求和即可.【详解】（1）证明：连接与交于点，则为的中点，连接，因为分别是线段的两个三等分点，所以是线段的中点，又因为是线段的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为四边形是边长为4的菱形，且底面，所以侧面为四个全等的矩形，所以四个侧面的面积为因为平面，连接，所以四边形是矩形，又，所以四边形是正方形，所以，所以所以所以四棱柱的表面积为【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查柱体的表面积的计算方法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.19.2022年北京冬奥运动会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了120人进行调查，经统计男生与女生的人数比为11:13，男生中有30人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人对冰壶运动没有兴趣.（1）完成列联表，并判断能否有99%的把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没有兴趣合计男30女15合计120（2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这8人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.附:，其中n=a+b+c+dP0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.0763.8415.0246.635【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)根据题目中的数据可填写列联表，然后计算 并和表格中的数据进行比较即可得到结论；（2）利用列举法可得从8人中选取2人的基本事件总数和2人中恰好有1位男生和1位女生的基本事件数，然后由古典概型的概率公式计算即可.【详解】（1）根据题意得如下列联表：所以所以有99%的把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”.（2）对冰壶运动有兴趣的学生共80人，从中抽取8人，抽取的男生数、女生数分别为：，.记3名男生为；女生为，则从中选取2人的基本事件为： ； 共28个，其中1男1女含有的基本事件为：共15个，所以选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率为.【点睛】本题考查列联表及独立性检验的应用，考查古典概型求概率问题.20.已知点为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由已知条件找到a,b,c的等量关系进行计算即可得椭圆的标准方程；（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，由韦达定理化简，即可得到直线方程.【详解】（1）因为，所以，解得：因为椭圆过点，所以，即又由，解得：，所以椭圆的标准方程为（2）由（1）知，故点的坐标为，显然直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，设点联立，消去得：，所以，所以（）且，因为，若，则，所以所以，所以所以所以所以所以，所以，解得：因为都满足（）式，所以直线的方程为或即直线的方程为或【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系和韦达定理的应用，考查学生的计算能力.21.已知函数.（1）设，求函数的单调区间；（2）若函数在其定义域内有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间.（2）【解析】【分析】(1)对函数f(x)求导，然后构造函数，通过判断F(x)的单调性和最值即可得到函数f(x)的单调性；（2）“函数在其定义域内有两个零点”可以转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，利用导数的几何意义求解即可得到答案.【详解】（1）函数的定义域为， 令，则令，得；令，得所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以所以对任意恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）（法一）：的定义域为，所以“函数在其定义域内有两个零点”等价于“方程在区间内有两个不同的实数根”即方程在区间内有两个不同的实数根故上述问题可以转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，如图若令过原点且与函数图像相切的直线斜率为，由图可得令切点由，得，所以又，所以，解得：于是，所以故实数的取值范围是（法二）的定义域为，当时，所以在单调递增，所以在不会有两个零点，不合题意，当时，令，得，在上，在上单调递增，在上，在上单调递减，所以，又时，时，要使有两个零点，则有即所以所以，即实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和函数的零点问题，考查导数的几何意义的应用，属于中档题.22.已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为，求曲线上的点到直线的最大距离.【答案】（1）曲线：表示以为圆心，2为半径的圆.（2）【解析】【分析】（1）利用平方和为1消去参数得到曲线C的直角坐标方程，再利用，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离.【详解】（1）由，得，两式两边平方并相加，得，所以曲线表示以为圆心，2为半径的圆.将代入得，化简得所以曲线的极坐标方程为（2）由，得，即，得所以直线的直角坐标方程为因为圆心到直线 的距离，所以