离散数学第七章--关系-集合的笛卡尔积集

目录（集合论）,第六章集合（4学时）第七章关系（8学时）第八章函数与集合的势（5学时）,第七章关系,7.1集合的笛卡尔积集7.2二元关系的基本概念7.3二元关系的性质7.4二元关系的闭包运算7.5等价关系和集合的划分7.6偏序关系和格7.7链与反链,7.1集合的笛卡尔积集,定义1a和b是两个元素，把a作为第一个元素，把b作为第二个元素，按这个顺序排列的一个二元组叫有序二元组,简称有序对，记为:（a，b）,特点：(1)当ab时，（a，b）（b，a）；(2)两个有序二元组相等，即（a，b）（x，y）的充分必要条件是ax且b=y。,笛卡尔积集,定义：设A和B是两个集合，存在一个集合，它的元素是用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成的有序二元组。称它为集合A和B的笛卡尔积集，记为AB。即AB(a,b)aA,bB。,例A=1,2，B=a,b,c,AB(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),笛卡尔RenDescartes（15961650）,著名的法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。在今天，巴黎安葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人”。,笛卡儿的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学，都开创了这些学科的崭新时代。几何学是他公开发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案.,笛卡尔积集的性质,性质1若A和B有一个是空集，则它们的笛卡尔积集是空集，即B=A=性质2当AB，且A和B均不是空集时，有ABBA性质3当A，B，C均不是空集时，有(AB)CA(BC),(a,b),c)(a,(b,c),尚未定义(a,b,c),例求证：A(BC)=(AB)(AC),思路:要分别证明A(BC)(AB)(AC)(AB)(AC)A(BC),例求证：A(BC)=(AB)(AC),证明：对于任意的x，y，若(x,y)A(BC)，即有xA且yB或C.若yB,则(x,y)AB；若yC,则(x,y)AC，所以(x,y)(AB)(AC)，故A(BC)(AB)(AC).对于任意的x，y，若(x,y)(AB)(AC)，即(x,y)AB,或(x,y)AC.若(x,y)AB，则xA且yB；若(x,y)AC，则xA且yC。所以xA且yBC,得(x,y)A(BC)，故(AB)(AC)A(BC).综上可知，A(BC)=(AB)(AC)。,例2A，B，C，D为任意集合，判断等式(AB)(CD)=(AC)(BD)是否成立。,答：不成立。若A=D=，B=C=a，则(AB)(CD)=BC=(a,a)(AC)(BD)=,有序n元组,定义3一个有序n(n3)元组是一个有序二元组，其中第一个元素是一个有序(n-1)元组，记为（a1,a2,an-1,an）,笛卡尔积集,定义4设A1，A2，An是n(2)个集合，这n个集合的笛卡尔积集记作A1A2An，即A1An(a1,a2,an)a1A1,anAn当A1A2An时,记之为An,即An=AAA,第七章关系,7.1集合