江苏省海中附校2020年高考数学第一轮复习讲义导数部分 人教版

江苏省海中附校2020年高考数学第一轮复习讲义导数部分42导数（一）一、复习目标：理解导数的概念，掌握导数的几何意义、运算法则和多项式函数求导公式，会用其解决切线问题和研究多项式函数的单调性问题。二、考点回顾：1导数的概念：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量 ，如果时，函数的平均变化率 有极限，就把这个极限值叫做函数在处的导数，记作 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的 ，简称 。2导数公式： （C为常数）， ， ， 。3导数的几何意义：（1）是指曲线在任一点P（,f（）处的 （2）是指曲线 . 此时的切线方程为： 4已知函数的图象是曲线C，C上有两点P（）、Q，当点Q沿着曲线C无限接近于点P，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线C在点P处的 。其斜率是 。5函数单调性：（1）函数单调性的充分条件：设函数在某个区间内可导，如果，则 为 函数；如果，则为 函数。（2）函数单调性的必要条件：设函数在某个区间内可导，如果在该区间上单调递增（或递减），则在该区间内 三、基础练习：1已知，若，则 。2设，则中的的系数为 （ ） A36000 B24000 C12000 D200003若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 （ ） A B C D4已知曲线C：，则（1）曲线C在点处的切线方程是 ；（2）过点作曲线C的切线，则切线方程是 .5（1）曲线，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，则曲线的切线方程为 。（2）曲线的切线中，斜率最小的切线方程为 6对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 。7已知函数，若，则在R上是 （ ） A常函数 B减函数 C增函数 D既不是增函数也不是减函数8已知向量在区间（1，1）上是增函数，则t的取值范围 .四、讲练题：例1设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。 （）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围.例2已知是函数的一个极值点，其中，（）求与的关系式；（）求的单调区间；（）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.例3已知函数。 （）求证：；（）若是R上的增函数，是否存在点P，使的图象关于点P中心对称？如果存在，请求出点P的坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由。例4已知函数.（）讨论函数的单调性；（）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.五、作业421已知，函数，且，则（ ） （A） 4 （B）3 （C） 2 （D） 12曲线在点处的切线方程是 （ ）（A） （B） （C） （D）3过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为 （A） （B） （C） （D）4（1）已知直线与曲线切于点（1，3），则的值为 （ ） A 3 B C 5 D （2）已知直线与曲线相切，则的值为 。5下列区间中，使函数是减函数的区间为（ ） A. B. C. D.6在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A3B2C1D07半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： ，式可以用语言叙述为： 。8已知函数是偶函数，则函数的单调增区间是 。9曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_.10设函数，已知是奇函数。（）求、的值。（）求的单调区间。11已知二次函数满足：在时有极值；图象过点（0，-3）且在该点处的切线与直线平行。（1）求的解析式； （2）求函数的单调递增区间。 12设函数的图像与直线相切于点。（）求的值；（）讨论函数的单调性。13设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中aR。 (1) 若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；(2) 若f(x)在(-,0)上为增函数，求a的取值范围。【海中附校2020年高考数学第一轮复习讲义】43导数（二）一、【复习目标】能用导数求函数的极值、最值；会用导数研究多项式函数的图象，并能解决相关问题；能用导数解决有关实际问题。二、【考点回顾】1函数的极值：设函数在点及其附近有定义，如果对于附近的所有点，都有 ，就说是函数的一个极大值，记作 ；设函数在点及其附近有定义，如果对于附近的所有点，都有 ，就说是函数的一个极小值，记作 ；极大值、极小值统称极值。2判断（求）极值的方法： 3函数的最大值与最小值：在闭区间上连续的函数，在上一定有最大值与最小值。求最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的 值；（2）将函数的各 值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。4如何作多项式函数的图象（草图）： 。三、【基础练习】1已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 。2已知在处有极值10，则 （ ） A11或18 B11 C18 D17或183设f (x)是函数f(x)的导函数，y=f (x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象(A) (B) (C) (D) 最有可能的是（ ） 4对于R函数，若满足，则必有（ ）A B. C. D.5在区间上的最大值是 （ ）(A) (B)0 (C)2 (D)46方程的实根个数为 （ ） A3 B2 C1 D0四、【典型例题】例1已知函数在（0，1）内取得极大值，在（1，2）内取得极小值，求的取值范围例2a为实数,函数 ()求的极值.()当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.例3已知函数，其中为参数，且（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围例4已知函数的图象在点P（1，0）处的切线与直线平行。（1）求常数、的值；（2）求函数在区间0，上的最大值和最小值。例5请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？五、【作业43】1若函数在（0，1）内有极小值，则 ( )A. B. C. D.2函数在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是 ( )(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-193若函数有极值，则实数a的取值范围是 （ ）(A) (B) (C) (D)4函数，的最小值是，则实数a的值是 ( )A.0 B. C. D.15函数，已知在时取得极值，则= （ ）（A）2（B）3（C）4（D）5 6函数在0，1上的最大值为 （ ）AB. C. D. 7方程在区间（0，1）内有 解。8在-2，2上的最大值 。9已知函数在区间0，1上单调递增，在区间1，2 上单调递减，则实数。10已知函数是R上的奇函数，当时取得极值。(I)求的单调区间和极大值；(II)证明对任意不等式恒成立。11已知函数f(x)=x33x29xa 。（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值12已知函数在处取得极值。(I)讨论和是函数 的极大值还是极小值；(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。13已知函数，其中是的导函数（）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点。 14已知函数。 （1）要使在（0，1）上单调递增，试求的取值范围； （2）当时，若函数满足，试求函数的解析式； （3）若时，图象上任意一点处的切线倾斜角为，求当 时的取值范围。导数部分答案42导数（一）三、基础练习：1已知，若，则 。2设，则中的的系数为 （ B ） A36000 B24000 C12000 D200003若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 A BC D解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A4已知曲线C：，则（1）曲线C在点处的切线方程是 ；（2）过点作曲线C的切线，则切线方程是 .5（1）曲线，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，则曲线的切线方程为 。（2）曲线的切线中，斜率最小的切线方程为 6对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是。7已知函数，若，则在R上是 （ C ） A常函数 B减函数 C增函数 D既不是增函数也不是减函数8已知向量在区间（1，1）上是增函数，则t的取值范围 .解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（1，1）上恒成立.解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，四、讲练题：例1设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围.解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，（II）解法一.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（1，3）上单调递减.所以的取值范围为解法二：因为函数在（1，3）上单调递减，且是（1，3）上的抛物线，所以 即解得所以的取值范围为例2已知是函数的一个极值点，其中，（）求与的关系式；（）求的单调区间；（）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.解(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即又所以即设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以解之得又所以即的取值范围为例3已知函数。 （）求证：；（）若是R上的增函数，是否存在点P，使的图象关于点P中心对称？如果存在，请求出点P的坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由。例4已知函数.（）讨论函数的单调性；（）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.解（）由题设知.令.当（i）a0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（i i）当a0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（）由（）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即.所以.故.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1，0)3，4.五、作业421已知，函数，且，则（ C ） （A） 4 （B）3 （C） 2 （D） 12（四川卷）曲线在点处的切线方程是( D )（A） （B） （C） （D）解：曲线，导数，在点处的切线的斜率为，所以切线方程是，选D.3过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为 （A） （B） （C） （D）解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且于是切线方程为，因为点（1，0）在切线上，可解得0或4，代入可验正D正确。选D4（1）已知直线与曲线切于点（1，3），则的值为 （ A ） A 3 B C 5 D （2）已知直线与曲线相切，则的值为 3或 。5下列区间中，使函数是减函数的区间为（ D ） A. B. C. D.6在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（D）A3B2C1D07半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： 式可以用语言叙述为： 。解：V球，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”8已知函数是偶函数，则函数的单调增区间是 。9曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_8/3_.10设函数，已知是奇函数。（）求、的值。（）求的单调区间。解析：（），。从而是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；11已知二次函数满足：在时有极值；图象过点（0，-3）且在该点处的切线与直线平行。（1）求的解析式； （2）求函数的单调递增区间。 12设函数的图像与直线相切于点。（）求的值；（）讨论函数的单调性。解：（）求导得。由于 的图像与直线相切于点，所以，即： 1-3a+3b = -11 解得: 3-6a+3b=-12（）由得：令f（x）0，解得 x-1或x3；又令f（x） 0，解得 -1x3.故当x（, -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,）时，f(x)也是增函数，但当x（-1 ，3）时，f(x)是减函数.13设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中aR。 (1) 若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；(2) 若f(x)在(-,0)上为增函数，求a的取值范围。解：（）因取得极值， 所以 解得经检验知当为极值点.（）令当和上为增函数，故当上为增函数.当上为增函数，从而上也为增函数. 综上所述，当上为增函数.43导数（二）三、【基础练习】1已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 。2已知在处有极值10，则 （ C ） A11或18 B11 C18 D17或183设f (x)是函数f(x)的导函数，y=f (x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象(A) (B) (C) (D) 最有可能的是（ C ） 4对于R函数，若满足（x1）0，则必有（ C ）A f（0）f（2）2f（1）解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故选C5在区间上的最大值是 （ C ）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：，令可得x0或2（2舍去），当1x0，当0x1时，0，所以当x0时，f（x）取得最大值为2。选C6方程的实根个数为 （ C ） A3 B2 C1 D0四、【典型例题】例1已知函数在（0，1）内取得极大值，在（1，2）内取得极小值，求的取值范围例2a为实数,函数 ()求的极值.()当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.例3已知函数，其中为参数，且（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.满分12分.解：（）当时，则在内是增函数，故无极值.（），令，得由（），只需分下面两种情况讨论.当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且要使，必有，可得由于，故当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：+0-0+极大值极小值因此，函数处取得极小值，且若，则。矛盾。所以当时，的极小值不会大于零。综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为。例5请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。五、【作业43】1若函数在（0，1）内有极小值，则( A )A. B. C. D.2函数在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是 ( C )(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-193若函数有极值，则实数a的取值范围是（ C ）(A) (B) (C) (D)4函数，的最小值是，则实数a的值是( A )A.0 B. C. D.15函数，已知在时取得极值，则= （ ）（A）2（B）3（C）4（D）5 6函数f(x)=x(1x2)在0，1上的最大值为 （ ）AB. C. D. 7方程在区间（0，1）内有 解。8在-2，2上的最大值 。9已知函数在区间0，1上单调递增，在区间1，2 上单调递减，则实数。10已知函数是R上的奇函数，当时取得极值。(I)求的单调区间和极大值；(II)证明对任意不等式恒成立。本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。满分12分。(I) 解：由奇函数定义，应有。即 因此， 由条件 为的极值，必有故 解得 因此， 当 时，故在单调区间上是增函数。当 时，故在单调区间上是减函数。当 时，故在单调区间上是增函数。所以，在处取得极大值，极大值为(II)解：由(I)知，是减函数，且在上的最大值在上的最小值所以，对任意恒有 11已知函数f(x)=x33x29xa, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值 解：（I） f (x)3x26x9令f (x)0，解得x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，） （II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2)因为在（1，3）上f (x)0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为712已知函数在处取得极值。(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；(II)过点