河北省保定市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理（含解析）

2020年高三第二次模拟考试理科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ ）A. 4B. 5C. 7D. 25【答案】B【解析】【分析】整理得，利用复数的模的公式计算即可。【详解】因为所以故选：B【点睛】本题主要考查了复数的模的计算，属于基础题。2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出，利用交集运算得解。【详解】由得：，所以由得：或，所以所以故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，还考查了求对数型函数的定义域，考查计算能力，属于基础题。3.等比数列中，若，则公比（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】设等比数列的首项为，公比为，由题可得：，解方程组即可。【详解】设等比数列的首项为，公比为由题可得：，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及计算能力，属于基础题。4.已知随机变量服从正态分布，若，则为（ ）A. 07B. 0.5C. 0.4D. 0.35【答案】C【解析】【分析】由已知及正态分布的对称性可得，再结合对称性可得：，问题得解。【详解】因为，所以所以故选：C【点睛】本题主要考查了正态分布的对称性，还考查了转化思想，属于中档题。5.我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的（单位：升），则输入的的值为（ ）A. 4.5B. 6C. 7.5D. 9【答案】B【解析】当n=2,当，当，结束。则6.把点按向量移到点，若（为坐标原点），则点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】点按向量移动后得到点，设，求得,，再利用列方程组可得：，解方程组即可。【详解】因为点按向量移动后得到点，所以，设，则,又，所以，解得：所以故选：C【点睛】本题主要考查了平移知识，还考查了向量数乘的坐标运算，考查计算能力及方程思想，属于较易题。7.已知一个几何体的三视图所示，其中正视图由两个小正方形组成，俯视图为正三角形，则此几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图可得：该几何体是一个正三棱柱，已知可得底面正三角形的高为，即可求得底面正三角形的边长为，再利用正视图由两个小正方形组成可得正三棱柱的高为，利用柱体体积公式计算即可得解。【详解】由三视图可得：该几何体是一个正三棱柱，由题可得：底面正三角形的高为，则底面正三角形的边长为因为正视图由两个小正方形组成，所以正三棱柱的高为，所以此几何体的体积为故选：C【点睛】本题主要考查了三视图还原及柱体体积公式，考查空间思维能力及计算能力，属于中档题。8.函数的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用为奇函数可排除B,D，再利用且时，可排除A，问题得解。【详解】因为为奇函数，所以排除B,D当且时，排除A故选：C【点睛】本题主要考查了函数图象的判断，可从奇偶性，单调性，函数值，对称性等方面逐一排除即可，考查转化能力及观察能力，属于中档题。9.中，内角、的对边、依次成等差数列，且，则的形状为（ ）A. 等边三角形B. 直角边不相等的直角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】A【解析】【分析】由、依次成等差数列可得，利用余弦定理可得：，结合整理可得：，问题得解。【详解】因为、依次成等差数列，所以由余弦定理可得：将代入上式整理得：所以，又可得：为等边三角形故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的概念及余弦定理，还考查了方程思想及计算能力，属于中档题。10.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用表示点到原点距离的平方，结合图形即可得解。【详解】作出不等式组表示的平面区域如下：求得区域的顶点分别为：,因为，它表示点到原点距离平方计算三点到原点的距离分别为：，所以点到原点的距离最大所以的最大值是.故选：D【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识解决平方型目标函数的最值，考查作图能力及计算能力，还考查了转化能力及两点距离公式，属于中档题。11.设点为直线：上的动点，点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设点关于直线的对称点为，利用对称性列方程组求得，利用对称性可得，结合图像即可得当三点共线时，最大，问题得解。【详解】依据题意作出图像如下：设点关于直线的对称点为，则它们的中点坐标为：，且由对称性可得：，解得：，所以因为，所以当三点共线时，最大此时最大值为故选：A【点睛】本题主要考查了点关于直线对称的点的求法，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题。12.设函数的最大值为，最小值为，则下列结论中：，其中一定成立的有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【解析】【分析】对的范围分类；当时，利用导数求得：时，时，；当时，时，时，即可画出函数的简图，即可求得，逐一验证即可。【详解】当时，所以当时，当时，当时，所以当时，当时，作出函数的简图如下：所以函数的最大值，最小值所以成立，成立，成立，不成立所以正确故选：D【点睛】本题主要考查了分类思想及利用导数判断函数的单调性并求最值，还考查了计算能力，属于难题。二、填空题（将答案填在答题纸上）13.的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于_【答案】180.【解析】试题分析：因,故令,则,又由题设可知,故其常数项为,应填.考点：二项式定理及运用14.若正数满足，则的最小值为_【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式可得：，将转化成：，解得：或（舍去），检验等号成立即可。【详解】因为正数，所以成立.所以所以即：解得：或（舍去）当时，等号成立，即：时，等号成立.所以的最小值为【点睛】本题主要考查了基本不等式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题。15.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是_【答案】【解析】(i)当a=0时,f(x)=3x2+1,令f(x)=0,解得x=,函数f(x)有两个零点，舍去。(ii)当a0时,f(x)=3ax26x=3ax(x),令f(x)=0,解得x=0或2a.当a0时,0,当x0时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减;当x0,此时函数f(x)单调递增。是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点。函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x00时,0,当x或x0,此时函数f(x)单调递增;当0x时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减。是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点。函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x00,即+10，a0，解得a2.综上可得：实数a的取值范围是(2,+).故答案：(2,+).点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解16.已知点在以为焦点的椭圆上，点为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件：；，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】利用椭圆的对称性及可得：点与原点重合，设，利用椭圆定义及可得：，再对角分别在两个三角形中利用余弦定理列方程，整理可得：，问题得解。【详解】依据题意作出图形如下：因为为的中点，所以又，所以与原点重合.设，则，由椭圆定义可得：所以，在及中，由余弦定理可得：整理得：所以【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，还考查了向量运算及椭圆定义，考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力，属于难题。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知中，.（1）求的面积；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）28（2）【解析】【分析】（1）由即可求得，再利用诱导公式及两角和的正弦公式即可求得，利用正弦定理即可求得，再利用三角形面积公式计算得解。（2）在中，由余弦定理列方程即可得解。【详解】解：（1）且， 在中，由正弦定理得，即，解得所以的面积为 （2）在中， 所以由余弦定理得，所以【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理，还考查了两角和的正弦公式，考查了同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于中档题。18.如图，已知四棱锥中，四边形为矩形，.（1）求证：平面；（2）设，求平面与平面所成的二面角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）证明BC平面SDC，即可证得AD平面SDC，即可证得SCAD，利用SC2+SD2=DC2证得SCSD，问题得证。（2）以点O为原点，建立坐标系如图，求得S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0)，利用即可求得E(2,0)，求得 ， ，利用空间向量夹角公式计算即可得解。【详解】（1）证明： BCSD ，BCCD则BC平面SDC, 又则AD平面SDC，平面SDC SCAD又在SDC中，SC=SD=2, DC=AB，故SC2+SD2=DC2则SCSD ，又所以 SC平面SAD （2）解：作SOCD于O，因为BC平面SDC,所以平面ABCD平面SDC，故SO平面ABCD以点O为原点，建立坐标系如图. 则S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0) 设E(2,y,0),因为所以 即E(2,0) 令，则， ，令，则，所以所求二面角的正弦值为【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，还考查了面面垂直的性质及转化能力，考查空间思维能力及空间向量数乘的坐标运算，还考查了利用空间向量求二面角的正弦值，考查计算能力，属于中档题。19.某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为，面试两科每科优秀的概率均为.（1）求该考生被录用的概率；（2）设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关，对笔试结果分类，求概率和即可。（2）易得的可能取值为3 ,5，分别求得，再利用期望计算公式计算即可得解。【详解】解：（1）该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关.所以P=（2）易得的可能取值为3 ,5 或 或 35P【点睛】本题主要考查了独立事件同时发生的概率公式及分类思想，考查了离散型随机变量的分布列及期望计算公式，考查计算能力，属于中档题。20.已知抛物线：，直线：.（1）若直线与抛物线相切，求直线的方程；（2）设，直线与抛物线交于不同的两点，若存在点，满足，且线段与互相平分（为原点），求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用即可求解。（2）由直线与抛物线相交可得：，由（1）可得 ，由线段OC与AB互相平分可得四边形OACB为平行四边形，得到C，利用得到，即： =-1，再将 ，代入即可求得，对的范围分类，利用基本不等式即可得解。【详解】解：（1）法1：由得 所以，所求的切线方程为 法2：因为直线恒过（0，-4），所以由得设切点为，由题可得，直线与抛物线在轴下方的图像相切，则 所以切线方程为，将坐标（0，-4）代入得即切点为（8，-8），再将该点代入得，所以，所求的切线方程为 （2）由得且，所以， 因为线段OC与AB互相平分，所以四边形OACB为平行四边形 ，即C由得， 法1：所以 =-1又 ，又所以 ，所以法2：因为 又，即 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相切的关系，还考查了韦达定理及向量的坐标运算，考查了两直线垂直的斜率关系，还考查了分类思想及利用基本不等式求最值，考查化归能力及计算能力，属于难题。21.已知函数.（1）求证：对任意实数，都有；（2）若，是否存在整数，使得在上，恒有成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（）【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数求得 ，令，再利用导数即可求得，问题得证。（2）整理得：，令：，由得，对是否大于分类， 当时，即时，利用导数即可证得，当时，利用导数即可求得，要使不等式恒成立转化成成立，令，利用导数即可求得，即可求得，问题得解。【详解】解：（1）证明：由已知易得，所以令得： 显然，时，0，函数f（x）单调递增所以 令，则由得时，0，函数t（）单调递增；时，0，函数t（）单调递减所以，即结论成立. （2）由题设化简可得令，所以由=0得 若，即时，在上，有，故函数单调递增所以若，即时，在上，有，故函数在上单调递减在上，有.故函数在上单调递增所以，在上， 故欲使，只需即可令由得所以，时，即单调递减又故【点睛】本题主要考查了转化思想及利用导数求函数的最值，还考查了分类思想及化归能力，考查计算能力及观察能力，属于难题。22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.【答案】（1）的普通方程为的直角坐标方程为 （2）（-1，0）或（2，3）【解析】【分析】（1）对直