江苏省海安高级中学2020届高三数学上学期12月月考试题（含解析）

江苏省海安高级中学2020届高三数学上学期12月月考试题（含解析）一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.设全集若集合，则 【答案】【解析】因为，所以考点：集合运算 2.已知复数满足，则_【答案】【解析】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案详解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为_. 【答案】【解析】【分析】直接模拟运行程序即得解.【详解】s=1-,k=2,s=,k=3,输出s=.故答案为：【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_.【答案】【解析】【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】试题分析：由题意，则，而双曲线的渐近线方程为，因此方法为考点：双曲线的性质6.在中，则_【答案】【解析】试题分析：考点：正余弦定理解三角形7.方程的解为 【答案】【解析】设，则考点：解指对数不等式8.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为考点：圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.视频9.若，则【答案】【解析】试题分析：，故答案为考点：三角恒更变化视频10.已知数列和，其中，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则_【答案】2【解析】由，若对于任意的第项等于的第项，则，则所以，所以.11.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】若f（x）无最大值，则，或，解得答案【详解】f（x），令f（x）0，则x1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a（，1）故答案为： 【点睛】本题主要考查导数和分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12.在锐角三角形中，为边上的点，与的面积分别为和过作于，于，则 【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此 考点：向量数量积，解三角形13.已知圆O：，定点，过点A的直线l与圆O相较于B，C两点，两点B，C均在x轴上方，若OC平分，则直线l的斜率为_.【答案】【解析】【分析】由角平分线的定义知，设出点B（x1，y1），由此求出点C的坐标，代入圆的方程求出x1，y1，得出点B的坐标，从而求出直线l的斜率kAB【详解】由OC平分AOB知，设点B（x1，y1），点C（x，y），则，即（xx1，yy1）（3x，y），由向量相等解得x，yy1；又1, x2+y21，,；由解得x1，y1，点B（，）；直线l的斜率为kAB故答案为：【点睛】本题考查了角平分线定理与直线和圆的方程应用问题，是中档题14.已知正实数a，b满足，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由=2a+，代换后利用基本不等式即可求解【详解】正实数a，b满足2a+b=3，2a+b+2=5，则=2a+=2a+b+2+4=1+=1+（）2a+（b+2）=1+（4+）=，当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号，即的最小值是故答案为：【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD平面ABCD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（1）求证：PEBC；（2）求证：EF平面PCD.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)先证明平面PEBC即得证.(2) 取中点，连接.证明，再证明EF平面PCD.【详解】（1），且为的中点，.平面平面，平面平面，平面.面，PEBC.（2）如图，取中点，连接.分别为和的中点，且.四边形为平行四边形，且为的中点，且，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.16.已知函数=4tan xsin（）cos（） .（）求f（x）的定义域与最小正周期；（）讨论f（x）在区间上的单调性.【答案】（），；（）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.【解析】试题分析：（）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（）根据（）的结论，研究函数f（x）在区间上单调性.试题解析：（）的定义域为.所以,的最小正周期（）令函数的单调递增区间是由,得设，易知.所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为yAsin（x）k的形式，再利用三角函数的性质求解三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式视频17.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南角方向，300 km的海面P处，并以20km / h的速度向西偏北45方向移动台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10km / h的速度不断增大（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2） 城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？【答案】（1）否；（2）小时.【解析】【分析】建立直角坐标系，则城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果【详解】（1）如图建立直角坐标系， 则城市，当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为，则，此时台风的半径为，10小时后，km，台风的半径为160km，因为，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A. （2）因此，t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，即， 解得 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.【点睛】本题考查圆的性质在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘题意中的隐含条件，合理地建立方程18.已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（）求椭圆M的方程； （）若，求 的最大值；（）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 共线，求k.【答案】（）（）（）【解析】分析：（1）根据题干可得的方程组，求解的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程为，联立，消整理得，利用根与系数关系及弦长公式表示出，求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率.详解：（）由题意得，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为（）设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，则，则，易得当时，故的最大值为（）设，则 ， ，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，则，即，又，代入式可得，所以，所以，同理可得故，因为三点共线，所以，将点的坐标代入化简可得，即点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式变形为，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.19. （本小题满分14分）已知数列与满足：，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（）设证明：【答案】（）【解析】参考标准答案.本小题主要等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.视频20.已知函数，（1）求在点P(1，)处的切线方程；（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；（3）若存在两个正实数，满足，求证：【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）求出P（1，0），x0，f（1）=1，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程（2）求出，x0，则f（x）=0，得x=e，列表讨论能求出实数t的取值范围（3）h（x）=x22x+4lnx，从而（x1+x2）22（x1+x2）4lnx1x2，令t=x1x2，=t2+2t4lnt，（t0），（11分）则=2t+2=，由此利用导数性质能证明x1+x23【详解】（1），所以点坐标为； 又，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为 （2） 正0负单调增极大值单调减由， 得；时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；时，得且，满足条件的整数解有无数个，舍；时，或，当时，无