河南省九师联盟2020届高三数学1月质量检测试题 文（含解析）

河南省九师联盟20202020学年高三1月质量检测数学（文科）一、选择题1.已知集合A3，2，1，0，1，Bx|1，则AB( )A. 2，1 B. 2，1，0 C. 3，2，1 D. 1，0【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算求解即可.【详解】Bx|1，集合A3，2，1，0，1，AB2，1.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，题目简单.2.已知i是虚数单位，若复数（a，bR），则ab( )A. 1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数相等的概念得到参数值，进而求解.【详解】已知i是虚数单位，若复数，根据复数相等得到故ab=-1.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了复数相等的概念，只需要实部和虚部分别相等即可.3.“x5”是“1”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】D【解析】【分析】解出不等式的解集，得到不等式的充要条件，进而判断结果.【详解】,故得到“x5”是“1”的充要条件.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了充分必要条件的判断，题目基础. 判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系4.以A（2，1），B（1，5）为半径两端点的圆的方程是( )A. （x2）2（y1）225 B. （x1）2（y5）225 C. （x2）2（y1）225或（x1）2（y5）225 D. （x2）2（y1）25或（x1）2（y5）25【答案】C【解析】【分析】根据题干条件得到圆心，由两点间距离公式得到半径，进而得到结果.【详解】根据条件知，圆心为A（2，1）或B（1，5），半径为两点AB间的距离，根据两点间距离公式得到.根据圆心和半径依次判断选项得到方程为：（x2）2（y1）225或（x1）2（y5）225.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了圆的标准方程的求法，一般已知圆的半径和圆心，则考虑用圆的标准方程，已知圆上3个点，则考虑用圆的一般方程.5.某单位为了制定节能减排的目标，调查了日用电量y（单位：千瓦时）与当天平均气温x（单位：），从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：x1715102y2434a64由表中数据的线性回归方程为，则a的值为( )A. 42 B. 40 C. 38 D. 36【答案】C【解析】【分析】由公式计算得到样本中心的坐标，代入方程可得到参数值.【详解】回归直线过样本中心，样本中心坐标为,代入方程得到+60，解得a=38.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了回归直线方程的应用，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与y之间的关系，这条直线过样本中心点6.在ABC中，b2，其面积为，则等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由面积公式得到c=4,再由余弦定理得到a边长度，最终由正弦定理得到结果.【详解】ABC中，b2，其面积为 由余弦定理得到，代入数据得到 故答案为：B.【点睛】这个题目考查了正余弦定理解三角形的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.7.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则实数m的值是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】根据题干得到双曲线的一个焦点为，再由双曲线中a,b,c的隐含关系得到参数值.【详解】抛物线的准线为，双曲线的一个焦点为 根据双曲线的标准方程得到 故答案为：A.【点睛】这个题目考查了抛物线的标准方程的应用，以及双曲线标准方程的求法，题目基础.8.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以外接圆的半径是，设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，由题设最大体积对应的高为，故，即，解之得，所以外接球的体积是，应选答案D。9.下面框图的功能是求满足135n111111的最小正整数n，则空白处应填入的是( )A. 输出i2 B. 输出i C. 输出i1 D. 输出i2【答案】D【解析】【分析】根据框图，写出每一次循环的结果，进而做出判断.【详解】根据程序框图得到循环是： M= 之后进入判断，不符合题意时，输出，输出的是i-2.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了循环结构的程序框图，这种题目一般是依次写出每一次循环的结果，直到不满足或者满足判断框的条件为止.10.设a1，若仅有一个常数c使得对于任意的xa，a3，都有y1loga2a3，2a满足方程axayc，则a的取值集合为( )A. 4 B. ，2 C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】首先将函数变形为是减函数，xa，a3时，问题转化为再由c的唯一性得到c值，进而得到参数a的值.【详解】方程axayc,变形为是减函数，当xa，a3时，因为对于任意的xa，a3，都有y1loga2a3，2a满足axayc，故得到因为c的唯一性故得到进而得到a=2.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了指对运算，考查了函数的值域的求法，以及方程的思想，综合性比较强.11.已知正方形ABCD内接于O，在正方形ABCD中，点E是AB边的中点，AC与DE交于点F，若区域M表示O及其内部，区域N表示AFE及CDF的内部，如图所示的阴影部分，若向区域M中随机投一点，则所投的点落入区域N中的概率是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出正方形的边长，表示出圆的面积，进而得到阴影部分的面积，根据几何概型的概率公式求解即可.【详解】设正方形的边长为2，则圆的半径为 根据AFE及CDF的相似性得到AFE的高为CDF高为，面积之和为 所投的点落入区域N中的概率是：.故答案为：B.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域上任意位置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在的区域（事实也是角）任意位置是等可能的12.设函数f（x）是定义在区间（1，）上的函数，f（x）是函数f（x）的导函数，且xf（x）lnxf（x）（x1），f（e2）2，则不等式f（ex）x的解集是( )A. （，2） B. （2，） C. （1，2） D. （0，2）【答案】D【解析】【分析】构造函数，对函数求导，得到函数的单调性，进而得到解集.【详解】构造函数，定义在区间（，）上,对函数求导得到： xf（x）lnxf（x）（），即xf（x）lnx-f（x）0,故得到，函数单调递增，不等f（ex）x即，根据函数的定义域以及函数单调性得到.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，对于解不等式的问题，比较简单的题目，可以直接解不等式；直接解比较困难的问题，可以研究函数的单调性，奇偶性等，直接比较自变量的大小即可.二、填空题13.向量（1，1）在（2，3）上的投影为_【答案】【解析】【分析】根据投影的定义得到向量（1，1）在（2，3）上的投影为计算得到结果即可.【详解】设两个向量的夹角为，向量（1，1）在（2，3）上的投影为 根据向量的点积的坐标公式得到，代入得到结果为.故答案为：.【点睛】这个题目考查了向量的点积公式的应用，以及模长的计算，投影的定义，题目基础.14.为了解世界各国的早餐饮食习惯，现从由中国人、美国人、英国人组成的总体中用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本进行分析若总体中的中国人有400人、美国人有300人、英国人有300人，且所抽取的样本中，中国人比美国人多10人，则样本容量m_【答案】100【解析】【分析】根据分层抽样的定义，根据条件建立比例关系即可得到结论【详解】根据分层抽样的概念得到三国的人抽得的比例为4：3：3，设中国人抽取x人，则美国人抽取x-10,英国人抽取x-10人，根据比例得到.美国人：30人，英国人30人，共100人.故答案为：100.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此类问题的基本方法，比较基础15.当时，函数yx2（23x2）的最大值为_【答案】【解析】【分析】通过换元得到，结合二次函数的性质得到结果.【详解】当, 结合二次函数的性质得到函数的最值在轴处取得，代入得到 故答案为：.【点睛】这个题目考查了二次函数的性质的应用，考查了二次函数在给定区间上的最值的求法.一般要考虑二次函数的对称轴是否在区间内.16.已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，且底面是平行四边形，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为16，AD2，DC4，则此球的表面积为_【答案】24【解析】【分析】通过分析题干得到四棱柱是长方体，外接球的球心是体对角线的中点，体对角线长为：，进而得到球的面积.【详解】已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，且底面是平行四边形,因为四棱柱的底面会位于一个圆面上，故四边形应该满足四点共圆，对角互补，结合这些性质得到上下底面是长方形，故该四棱柱是长方体，体积为：外接球的球心是体对角线的中点，体对角线长为： 故球的表面积为： 故答案为：24【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题17.已知在等比数列an中，2，128，数列bn满足b11，b22，且为等差数列（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据等比数列的性质得到64，2，进而求出公比，得到数列an的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可.【详解】（1）设等比数列an的公比为q由等比数列的性质得a4a5128，又2，所以64所以公比所以数列an的通项公式为ana2qn222n22n1设等差数列的公差为d由题意得，公差，所以等差数列的通项公式为所以数列bn的通项公式为（n1，2，）（2）设数列bn的前n项和为Tn由（1）知，（n1，2，）记数列的前n项和为A，数列2n2的前n项和为B，则，所以数列bn的前n项和为【点睛】这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.18.2020年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评140对商品不满意10合计200（2）若针对服务的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出4次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率附：，其中nabcdP（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）详见解析（2）0.5【解析】【分析】(1)根据题干条件得到列联表，由公式得到的观测值k，进行判断即可；（2）采用分层抽样的方式从这200次交易中取出4次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为1次，从4次交易中，取出2次的所有取法为6种，其中只有一次好评的情况是3种，由古典概率的公式得到结果.【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的22列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评14040180对商品不满意101020合计15050200则由于7.4077.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5的前提下，认为商品好评与服务好评有关（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出4次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为1次记好评的交易为A，B，C，不满意的交易为a，从4次交易中，取出2次的所有取法为（A，B），（A，C），（A，a），（B，C），（B，a），（C，a），共6种情况，其中只有一次好评的情况是（A，a）、（B，a）、（C，a），共3种，因此只有一次好评的概率为【点睛】这个题目考查了分层抽样的概念，古典概型的公式，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.19.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，BAC120，ACAB2，AA13（1）求三棱柱ABCA1B1C1的体积；（2）若M是棱BC的一个靠近点C的三等分点，求证：AM平面ABB1A1【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】(1)根据体积公式底面积乘以高，代入数据即可；（2）根据余弦定理得到AM=CM,结合等腰三角形底角相等得到AMAB，再由侧楞垂直于底面得到AA1AM，进而得证.【详解】（1）因为BAC120，ACAB2，所以所以（2）证明：在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以因为M是棱BC的一个靠近点C的三等分点，所以因为BAC120，ACAB2，所以ACBABC30由余弦定理，得AM2AC2CM22ACCMcosACB，所以所以CMAM所以ACMCAM30所以MABCABCAM1203090即AMAB易知AA1平面ABC，AM平面ABC，所以AA1AM又因为ABAA1A，所以AM平面ABB1A1【点睛】这个题目考查了棱柱体积的求法，以及线面垂直的证明，证明线面垂直一般先证线线垂直；或者可以由面面垂直的性质得到线面垂直.20.已知点O为坐标原点，椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，IOJ的边IJ上的中线长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点H（2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1BF1，求直线AB的方程【答案】（1）（2）x2y20或x2y20【解析】【分析】(1)由直角三角形中线性质得到，再根据条件得到求解即可；（2）设出直线AB，联立直线和椭圆得到二次方程，由AF1BF1，得到，整理得（12k2）（x1x2）（1k2）x1x214k20，代入韦达定理即可.【详解】（1）由题意得IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为，所以设椭圆C的半焦距为c，则解得所以椭圆C的标准方程为（2）由题知，点F1的坐标为（1，0），显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk（x2）（k0），点A（x1，y1），B（x2，y2）联立消去y，得（12k2）x28k2x8k220，所以（8k2）24（12k2）（8k22）8（12k2）0，所以（*）且，因为AF1BF1，所以，则（1x1，y1）（1x2，y2）0，1x1x2x1x2y1y20，1x1x2x1x2k（x12）k（x22）0，整理，得（12k2）（x1x2）（1k2）x1x214k20即化简得4k210，解得因为都满足（*）式，所以直线AB的方程为或即直线AB的方程为x2y20或x2y20【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.已知函数（a0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：对任意x1，），有f（x）2xa2【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】(1)对函数求导，分情况讨论导函数的正负，进而得到单调区间；（2）构造函数，对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值，证明函数的最大值小于0即可.【详解】（1）解：当0a1时，由f（x）0，得（1a）x1（1a）x10，解得；由f（x）0，得（1a）x1（1a）x10，解得故函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，）当a1时，由f（x）0，得或；由f（x）0，得故函数f（x）的单调递减区间为（0，），（，），单调递增区间为（2）证明：构造函数，则因为（2a）24（1a2）0，所以（1a2）x22ax10，即g（x）0故g（x）在区间1，）上是减函数又x1，所以g（x）g（1）（1a2）1a20故对任意x1，），有f（x）2xa2【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，且直线l经过曲线C的左焦点F（1）求直线l的普通方程；（2）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值【答案】（1）x2y10（2）【解析】【分析】(1)由极坐标化直角坐标的公式可得到曲线C的普通方程，消去参数t可得到直线普通方程，再代入F点坐标可得到直线方程；（2）椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（，sin）内接矩形的周长为，化一求最值即可.【详解】（1）因为曲线C的极坐标方程为，即22sin22将2x2y2，siny，代入上式，得x22y22，即所以曲线C的直角坐标方程为于