哈尔滨工程大学 自动控制原理 第2章 离散系统分析的数学基础

1,第2章离散系统分析的数学基础,随着计算机的蓬勃发展，数字控制系统得到了广泛的应用。但是，由于计算机只能处理离散时间的数字信号，而被控对象的输出往往是模拟量，所以需要将连续时间信号离散化，才能输入计算机进行运算和处理，这一过程通常由采样/保持电路和A/D转换器实现，计算机根据某种控制算法，对输入的数字序列实行一系列的运算，得到控制量，它也是一个数字序列，经过D/A转换和保持器后又变成模拟信号，才能作为被控对象的输入，控制被控对象实现控制目标。因此，在计算机控制系统的分析与设计中，必须考虑连续时间信号和离散时间信号的相互转换问题，即采样、量化、A/D和D/A转换以及保持器等问题。,2,第2章离散系统分析的数学基础,2.1信号的采样与保持（复现）2.2Z变换理论,3,2.1信号的采样与保持（复现）,1.采样过程：就是把连续信号变成离散信号的过程，简称采样。简言之，就是将连续信号(系统)离散化的过程。,2.采样开关(采样器)：采样过程由采样器来完成，将连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器,又叫采样开关。在实际应用中，采样器均为电子开关。,一、采样过程,图采样开关,4,采样周期：采样开关两次闭合的时间间隔T。,图采样开关,采样频率：,采样角频率：,周期采样：在采样过程中采样周期T保持不变的采样。,同步周期采样：若整个计算机控制系统有多个采样开关，且它们的采样周期相同，并且所有的采样开关都同时开闭，则称为同步周期采样。,5,图2-1采样过程,3采样过程分析：,假设采样开关每隔时间T闭合一次，闭合的持续时间为，那么每闭合一次就实现对连续信号e(t)的一次采样，则采样器的输出e*(t)是一串宽度为的矩形脉冲序列，在采样瞬时nT(n=0,1,)出现。显然，采样过程要丢失采样间隔之间的信息。,6,4采样过程的数学表示：,图2-2理想采样过程,理想采样：采样开关闭合时间=0；,T2T,（）,7,二、香侬采样定理（）,1采样信号的频域描述（即采样信号的频谱）：,设连续信号e(t)的傅立叶变换为，则可以证明（参见教材P314）离散信号的傅立叶变换为:,说明：是以采样角频率为周期的函数，它建立了连续信号频谱和相应的采样信号频谱之间的关系。,8,h,-h,0,h,-h,0,s,2s,3s,-3s,-2s,-s,1,图2-4采样信号频谱（）,图2-3连续信号频谱,h,-h,0,s,2s,3s,-3s,-2s,-s,图2-5采样信号频谱（）,图2-6采样信号频谱（）,:连续频谱中的最高角频率；,:奈奎斯特频率,9,当时，离散信号的频谱是由无穷多个形状与原连续信号频谱相同的孤立频谱构成的离散频谱。,当时，离散信号的频谱是由无穷多个形状与原连续信号频谱相同的孤立频谱构成的离散频谱。,当时，离散信号的频谱不再由孤立谱构成，而是采样频谱中的各分量相互交叠，这种现象称为频谱混叠，它致使采样器的输出信号发生畸变。在此情况下，即使用如图2-7所示的理想滤波器也无法恢复原连续信号的频谱。,T,0,图2-7理想滤波器的频率特性,10,2香侬采样定理（）,如果对一个具有有限频谱（）的连续信号进行采样，当（即）时，离散信号可以无失真地再现原连续信号e(t)，其中为采样角频率，为连续信号e(t)频谱的最大角频率。,11,三采样周期的选取（P315-316）,工程中采用零阶保持器来实现信号重构，采样频率通常是大于采样定理给出值310倍，即。在一般工业过程控制中，微机所能提供的运算速度，对于采样周期的选择来说回旋余地较大，工程实践表明，根据P316表7-1给出的参考数据选择采样周期T，可以取得较满意的控制效果。,12,四信号保持（恢复）,1.信号保持的定义：把离散信号转换为连续信号的过程称为信号保持或信号的恢复，它是采样的逆过程。,2.信号保持的实现：实现信号保持的最好装置是具有理想滤波特性的滤波器，但具有图2-7所示特性的滤波器在工程上难以实现。实际上实现信号保持的装置是保持器。,13,3.保持器的数学描述,保持器实际上是一种时域外推装置，当离散信号输入时，该装置能把输入脉冲在采样间隔时间内按某种规律保持到下一个采样时刻，并由下一个采样时刻的采样值所取代，也就是说现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推。,通常采用如下多项式外推公式描述m阶保持器：,式中，是以nT时刻为原点的坐标。上式表示：现在时刻的输出值，取决于各过去时刻的离散信号的(m+1)个值。,m=0时称为零阶保持器，它是具有常值外推规律的保持器。,14,4零阶保持器（）,1）数学表达式：,图2-8零阶保持器的输出特性,15,2）零阶保持器的特性,如果把一个理想单位脉冲作为零阶保持器的输入，则其脉冲响应是幅值为1，持续时间为T的矩形脉冲。,其表达式可分解为两个单位阶跃函数的和，即：,1,-1,T,t,取拉氏变换,零阶保持器的传递函数,（a）,（b）,图2-9零阶保持器的时域特性,16,零阶保持器的相频特性,零阶保持器的幅频特性,零阶保持器的频率特性,17,图2-10零阶保持器的幅频特性和相频特性,零阶保持器的特性：1）低通特性；2）相角滞后特性；3）时间滞后特性。,18,2.2Z变换理论（）,一、Z变换定义,1Z变换的定义()：,2.几点说明：,连续信号和它的采样信号具有相同的Z变换；若两个信号在所有采样时刻上值相同，它们的Z变换相同；Z变换定义式常用于证明。,19,二、Z变换方法,级数求和法部分分式法留数计算法（补充）,1.级数求和法,主要思想是：根据Z变换定义式写出级数形式的Z变换再作级数求和，得到闭合形式的Z变换表达式。,(),20,补充：无穷递减等比级数的和,式中a1是首项，q是公比。,例2（P320例7-6）：试求单位阶跃函数1(t)的Z变换。（）,解：因为，由Z变换定义有,若，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，得：,21,例3求指数函数的Z变换。（）,解：由于，则：,若公比，则有：,22,（1）,为得到闭合形式，上式两边分别乘以z-1,（2）,式（1）减式（2）得：,所以得单位斜坡函数的Z变换：,例4求单位斜坡函数x(t)=t的Z变换。,解：因为，则有,23,注意：任何一个序列的Z变换，一般可以有两种表达形式，一种是级数形式，另一种是封闭形式，任何封闭形式都只是表示Z平面收敛域上的函数，而不代表收敛域以外的函数，因为在收敛域以外函数是发散的，因而不存在任何解析表达式，因此在使用封闭形式时，应注明收敛范围。但本教材中没有刻意标注出的收敛区间，这是因为大多数工程问题中的Z变换都存在，因此今后对Z变换的收敛区间不再特别指出。,24,2.部分分式法,主要思想是：先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E(s)，若E(s)没有重极点，则可将E(s)展成部分分式之和的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数，其对应的Z变换是容易得到的，经通分计算就可得到最终的Z变换闭式。,注意：1)常用时间函数的Z变换表参见教材P322表7-2，可挑重要的重点记忆一下。2)部分分式法适用于E(s)没有重极点,(),25,例6()已知,试求相应的Z变换E(z).,解：将E(s)展成部分分式形式：,对上式逐项取拉氏反变换，得：,由例2、例3知：,所以,26,例7设，试求其E(z)。,解：对取拉氏变换，得：,将上式展开为部分分式：,根据指数函数的Z变换表达式，可以得到,（注：）,27,3留数计算法（补充的内容）,已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E(s)及全部极点，则e(t)的Z变换可由下面留数计算求得。即,式中：KE(s)的不相同极点的个数；ri极点si的阶数；T采样周期。,注意：当E(s)具有重极点时，应采用留数计算法。,28,例8用留数法求单位斜坡函数e(t)=t的Z变换。,解：e(t)的拉氏变换式为,显然，只有一个二重极点，即s=0，r=2，K=1。故：,29,三、Z变换的性质,1线性定理,若，a为常数，则：,说明：Z变换过程满足齐次性可加性，表明Z变换是一种线性变换。,30,2实数位移定理（又称平移定理）（）,1）实数位移的含意：指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为滞后。,2）实数位移定理：如果函数e(t)是可拉氏变换的，其Z变换为E(z)，则有,滞后定理（负偏移定理）：,超前定理（正偏移定理）：,其中：k为正整数。,31,说明：实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分和积分定理。算子有明确的物理意义：z-k代表时域中的滞后环节，它将采样信号滞后k个采样周期，如图(a)所示；zk代表超前环节，它把采样信号超前k个采样周期，其超前环节的作用示于图(b)。,（a）z-k环节的延迟作用,（b）zk环节的超前作用,32,例9试用实数位移定理计算下列函数的Z变换：,1），其中：，a为常数；,2），其中：a为常数；,解：1）应用滞后定理：,2）应用超前定理：,33,3复数位移定理,如果函数e(t)是可拉氏变换的，其Z变换为E(z)，则有,说明：复数位移定理的含义是函数e*(t)乘以指数序列的Z变换就等于在e*(t)的Z变换表达式中，以取代原算子z.,例11（P325，例7-11）试用复数位移定理计算的Z变换。,解：令e(t)=t，则,根据复数位移定理，有：,34,例12计算的Z变换。,解：计算(查表)得到,所以：,35,4终值定理（）,如果函数e(t)的Z变换为E(z)，函数序列e(nT)(n=0,1,2,)为有限值，且极限存在，则函数序列的终值,例13（P326，例7-12）：设Z变换函数为,试用终值定理计算e(nT)的终值。,解：的2个极点为，则在单位圆内，则由终值定理得：,（或者说若的极点均在Z平面单位圆内，则有上式成立）,36,5卷积定理,设x(nT)和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为：,则卷积定理：若,必有,说明：卷积定理指出，两个采样函数卷积的Z变换，就等于这两个采样函数相应Z变换的乘积。这说明时域上的卷积关系对应着频域上的乘积关系。,例15已知：，能否用终值定理计算终值？,解：的2个极点在单位圆周上，即，所以不能用终值定理计算。,37,四、Z反变换,Z反变换：是已知信号的Z变换表达式E(z)，求相应的离散序列e(nT)的过程。记为,注意：进行反变换时，信号序列仍是单边的，即当n0时，e(nT)=0.,Z反变换法,幂级数法部分分式法()反演积分法,38,1幂级数法（多项式除法、长除法、综合除法）,主要思想:将E(z)表示为按z-1升幂排列的两个多项式之比：,其中和均为常系数。对上式直接作综合除法，得到按z-1升幂排列的幂级数展开式：,如果所得到的无穷幂级数是收敛的，则按Z变换定义可知，上式中的系数就是采样脉冲序列的脉冲强度e(nT)，即。故的脉冲序列表达式为：,39,例18（P328，例7-14）用幂级数法求下列函数的Z反变换。,解：将给定的E(z)表示为:,利用综合除法得：,所以,采样函数,40,2部分分式法（查表法）,具体实现步骤如下：1）设已知的E(z)无重极点，先将E(z)/z展开成部分分式之和：,式中：是E(z)的极点；是,是E(z)/z在极点zi处的留数。,2）由上式E(z)写出的部分分式之和：,3）逐项查Z变换表，得到：,4）写出已知E(z)对应的采样函数：,适用于E(z)无重极点的情况,(),41,例19（P328，例7-13）用部分分式法求下列函数的Z反变换。,解：因为,所以,查Z变换表知，在采样瞬时相应的信号序列为：,E(z)对应的采样函数为：,42,3反演积分法（留数法）,已知连续时间函数e(t)的Z变换式为E(z)，可证明连续时间函数e(t)在t=nT时刻的采样值e(nT)可由下面的反演积分计算:,式中：ziE(z)zn-1的极点；kE(z)zn-1的不相同极点的个数；ri极点zi的阶数。,说明：