江苏省南京市建邺高级中学高三数学第一轮复习《第15课时 导数的应用1》学案

第15课时 导数的应用（一）【考点概述】 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值.【重点难点】：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间和函数的极大值、极小值。【基础梳理】1. 函数的单调性与导数在区间内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果 ，那么函数为该区间上的增函数.如果 ，那么函数为该区间上的减函数.用导数研究函数的单调性其一般步骤为：（1） 确定函数y=f（x）的定义域；（2) 求导数；(3) 在函数f（x）的定义域内解不等式0和0；(4) 根据(3)的结果确定函数的单调区间.2 函数的极值（1）定义：如果在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有_，则称函数f（x）在点x=x0处取得极大值，记作_，如果在x0附近都有_，则称函数f（x）在点x=x0处取得极小值，记作_ _， 和 统称为极值.（2）求函数极值的方法解方程,当时， 如果在附近左侧 ，右侧 ，那么是极大值. 如果在附近左侧 ，右侧 ，那么是极小值.求函数极值的步骤：(1) 求导数.(2) 求方程=0的所有实数根.(3) 观察在每个根x0附近，从左到右，如果的符号由正变负，则f（x0）是极大值；如果由负变正，则f（x0）是极小值；如果的符号在x0的两侧附近相同，则函数f（x）在点x=x0处不存在极值.3.设函数在某个区间内有导数，用填空：（1） 在上递增(递减)(2) 在上递增(递减)（3）都不恒等于0 在上递增(递减)【热身练习】1（2020江苏卷）函数的单调减区间为 .2函数的极小值是 。 3. 函数，已知在时取到极值，则 4函数的单调递减区间是 。（选修1-1习题2(2)改编）5. 已知有极大值和极小值，则的取值范围为 。6已知可导函数的导函数的图象如右图所示，给出下列四个结论： 是的极小值点；在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减，其中正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）【典例导航】【例1】设函数，已知是奇函数。（1）求、的值。 （2）求的单调区间与极值。【变式训练】已知函数图像上的点处的切线方程为 ，函数是奇函数（1）求函数的表达式； （2）求函数的极值.【例2】（2020南京市质量检测）已知函数 （1）若函数在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在为增函数，求的取值范围。【例3】(2020浙江卷)已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围【例4】已知函数f（x）=x3-3ax-1,a0.（1） 求f（x）的单调区间；（2） 若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.总结规律1 要注意有两个(或两个以上)单调增(减)区间的写法.2 利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3=0是可导函数f（x）在x=x0处取得极值的必要条件，而不是充分条件.4 极大值未必大于极小值，极值仅仅体现在x0处附近函数值的变化情况.5 要掌握将不等式的证明、方程根的个数的判定、求作函数的图象等问题转化为函数的单调性、极值问题的处理.【应用提升】1. (2020盐城市联考)奇函数在处有极值，则的值为 2. (2020常州市期末)已知是实数，函数，若，则函数的单调减区间是 .3. (2020东台市期末)已知函数在点处有极小值-1，则的单调增区间为 ，的单调减区间为 。4. (2020佛山市质检)若函数yx3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是 。5. (2020威海市质检)函数在上的单调递增区间为 。6已知函数处取得极值。 （1）求曲线在点（1，0）处取得极值。 （2）求函数的单调区间。7已知函数f(x)=alnx+x2（a为实常数）.(1) 若a=-2，求证：函数f(x)在（1,+）上是增函数；(2) 若存在x1,e，使得f(x)(a+2)x成立，求a的取值范围.第15课时 导数的应用（一）参考答案【热身练习】1. 答案：考解析： 考查利用导数判断函数的单调性。，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。2.答案：解析：当时，函数递增；当时，函数递减；当时，函数递增；当时，3.答案：4解析：，在时取到极值，解得。4. 答案：解析：，由，得，又，。5.答案：解析：，要使有极大值和极小值，只需有两个不同的根即可。即：，解得：。【典例导航】【例1】解:（1），。1分从而是一个奇函数，4分所以得，由奇函数定义得；7分（2）由（1）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；11分在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。14分【变式训练】解:(1) ， 函数在处的切线斜率为-3，即，又得,又函数是奇函数， ， （2），令得或，-递减极小递增极大递减 【例2】解：（1）因为： ，又在处的切线方程为 ， 所以 解得： 。（2）若函数在上为增函数,则在上恒成立， 即：在上恒成立。所以有 。【例3】解：（）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得。【例4】（1）=3x2-3a=3(x2-a). 1分当a0,当a0时，由0,解得x；由0,解得x0时，f（x）的单调增区间为（-,-a）,（a,+）,f（x）的单调减区间为(-a,a). 6分（2） f（x）在x=-1处取得极值，=3（-1）2-3a=0,a=1. 8分f（x）=x3-3x-1, =3x2-3.由=0解得x1=-1,x2=1. 10分由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=-1处取得极大值f(-1)= 1，在x=1处取得极小值f(1)=-3. 12分直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，又f(-3)=-191，结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是(-3,1).14分要点反思要使直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，只要求直线y=m夹在两平行线y=y极大值和y=y极小值之间即可，要注意数形结合的思想的应用.【应用提升】1. 答案：0解析：由奇函数知，, 。2.答案： 解析：，由，得，解得。令，解得。3.答案：，；解析：， 。 ，增区间， ， 减区间。4答案：，)解析：若函数yx3x2mx1是R上的单调函数，只需y3